Почему числа Фибоначчи значимы в информатике?

числа Фибоначчи имеют всевозможные действительно хорошие математические свойства, которые делают их отличными в информатике. Вот несколько:

1. они растут экспоненциально быстро. одна интересная структура данных, в которой появляется ряд Фибоначчи, - это дерево AVL, форма самобалансирующегося двоичного дерева. Интуиция за этим деревом заключается в том, что каждый узел поддерживает коэффициент баланса, так что высоты левого и правого поддерева различаются не более чем на один. Из-за этого вы можете подумать о минимальном количестве узлов, необходимых для получения дерева AVL высоты h, определяется повторением, которое выглядит как N(h + 2) ~= N(h) + N(h + 1), что очень похоже на ряд Фибоначчи. Если вы разработаете математику, вы можете показать, что количество узлов, необходимых для получения дерева AVL высоты h, равно F(h + 2) - 1. Поскольку ряд Фибоначчи растет экспоненциально быстро, это означает, что высота дерева AVL не более логарифмична по количеству узлов, что дает вам время поиска O(lg n) мы знаем и любим сбалансированные бинарные деревья. На самом деле, если вы можете связать размер некоторой структуры с числом Фибоначчи, вы, вероятно, получите o(lg n) runtime для некоторой операции. Это реальная причина того, что кучи Фибоначчи называются кучами Фибоначчи-доказательство того, что количество куч после dequeue min включает в себя ограничение количества узлов, которые вы можете иметь на определенной глубине с числом Фибоначчи.
2. любое число может быть записано как сумма уникальные числа Фибоначчи. это свойство чисел Фибоначчи имеет решающее значение для работы поиска Фибоначчи вообще; если вы не можете сложить уникальные числа Фибоначчи в любое возможное число, этот поиск не будет работать. Сравните это с множеством других серий, таких как 3ⁿ или каталонские номера. Это также частично объясняет, почему многие алгоритмы, такие как полномочия двух, я думаю.
3. числа Фибоначчи эффективно вычислимы. в тот факт, что ряд может быть сгенерирован чрезвычайно эффективно (вы можете получить первые N членов в O(n) или любой произвольный член в O(lg n)), тогда многие алгоритмы, которые их используют, не будут практичными. Генерирование каталонских чисел довольно сложно вычислить, IIRC. Кроме того, числа Фибоначчи имеют хорошее свойство, где, учитывая любые два последовательных числа Фибоначчи, скажем, F (k) и F(k + 1), мы можем легко вычислить следующее или предыдущее число Фибоначчи, добавив два значения (F(k) + F(k + 1) = F (k + 2)) или вычитание их(F(k + 1) - F(k) = F (k - 1)). Это свойство используется в нескольких алгоритмах вместе со свойством (2) для разбиения чисел на сумму чисел Фибоначчи. Например, поиск Фибоначчи используется для поиска значений в памяти, в то время как аналогичный алгоритм может быть использован для быстрого и эффективного расчета логарифмов.
4. они педагогически полезно. обучение рекурсии сложно, и серия Фибоначчи отличный способ представить его. Вы можете говорить о прямой рекурсии, о запоминании или о динамическом программировании при введении серии. Кроме того, удивительный закрытая форма для чисел Фибоначчи часто преподается как упражнение в индукции или в анализе бесконечных рядов и связанных с ними матричное уравнение для чисел Фибоначчи обычно вводится в линейную алгебру как мотивация собственных векторов и собственных значений. Я думаю, что это это одна из причин, по которой они так популярны на вводных занятиях.

Я уверен, что есть больше причин, чем просто это, но я уверен, что некоторые из этих причин являются основными факторами. Надеюсь, это поможет!