2D Peak finding algorithm в o(n) худшем случае время?
Я делаю этой курс по алгоритмам из MIT. В самой первой лекции профессор ставит следующую задачу:--10-->
пик в 2D-массиве-это такое значение,что все его 4 соседа меньше или равны ему, т. е. для
a[i][j]
чтобы быть локальным максимумом,
a[i+1][j] <= a[i][j]
&& a[i-1][j] <= a[i][j]
&& a[i][j+1] <= a[i][j]
&& a[i+1][j-1] <= a[i][j]
теперь, учитывая массив NxN 2D,поиск пика в массиве.
этот вопрос можно легко решить в O(N^2)
время повторение всех элементов и возвращение пика.
однако он может быть оптимизирован для решения в O(NlogN)
время, используя решение divide and conquer, как объяснено здесь.
но они сказали, что существует O(N)
алгоритм времени, который решает эту проблему. Пожалуйста, предложите, как мы можем решить эту проблему в O(N)
времени.
PS (Для тех, кто знает python) сотрудники курса объяснили подход здесь (проблема 1-5. Peak-Finding Proof), а также предоставил некоторый код python в своих наборах задач. Но объясненный подход совершенно неочевиден и очень трудно расшифровать. Код python одинаково запутан. Так я скопировал основную часть кода ниже для тех, кто знает Python и может сказать, какой алгоритм используется в коде.
def algorithm4(problem, bestSeen = None, rowSplit = True, trace = None):
# if it's empty, we're done
if problem.numRow <= 0 or problem.numCol <= 0:
return None
subproblems = []
divider = []
if rowSplit:
# the recursive subproblem will involve half the number of rows
mid = problem.numRow // 2
# information about the two subproblems
(subStartR1, subNumR1) = (0, mid)
(subStartR2, subNumR2) = (mid + 1, problem.numRow - (mid + 1))
(subStartC, subNumC) = (0, problem.numCol)
subproblems.append((subStartR1, subStartC, subNumR1, subNumC))
subproblems.append((subStartR2, subStartC, subNumR2, subNumC))
# get a list of all locations in the dividing column
divider = crossProduct([mid], range(problem.numCol))
else:
# the recursive subproblem will involve half the number of columns
mid = problem.numCol // 2
# information about the two subproblems
(subStartR, subNumR) = (0, problem.numRow)
(subStartC1, subNumC1) = (0, mid)
(subStartC2, subNumC2) = (mid + 1, problem.numCol - (mid + 1))
subproblems.append((subStartR, subStartC1, subNumR, subNumC1))
subproblems.append((subStartR, subStartC2, subNumR, subNumC2))
# get a list of all locations in the dividing column
divider = crossProduct(range(problem.numRow), [mid])
# find the maximum in the dividing row or column
bestLoc = problem.getMaximum(divider, trace)
neighbor = problem.getBetterNeighbor(bestLoc, trace)
# update the best we've seen so far based on this new maximum
if bestSeen is None or problem.get(neighbor) > problem.get(bestSeen):
bestSeen = neighbor
if not trace is None: trace.setBestSeen(bestSeen)
# return when we know we've found a peak
if neighbor == bestLoc and problem.get(bestLoc) >= problem.get(bestSeen):
if not trace is None: trace.foundPeak(bestLoc)
return bestLoc
# figure out which subproblem contains the largest number we've seen so
# far, and recurse, alternating between splitting on rows and splitting
# on columns
sub = problem.getSubproblemContaining(subproblems, bestSeen)
newBest = sub.getLocationInSelf(problem, bestSeen)
if not trace is None: trace.setProblemDimensions(sub)
result = algorithm4(sub, newBest, not rowSplit, trace)
return problem.getLocationInSelf(sub, result)
#Helper Method
def crossProduct(list1, list2):
"""
Returns all pairs with one item from the first list and one item from
the second list. (Cartesian product of the two lists.)
The code is equivalent to the following list comprehension:
return [(a, b) for a in list1 for b in list2]
but for easier reading and analysis, we have included more explicit code.
"""
answer = []
for a in list1:
for b in list2:
answer.append ((a, b))
return answer
2 ответов
- предположим, что ширина массива больше высоты, иначе мы разделимся в другом направлении.
- разделите массив на три части: центральный столбец, левая сторона и правая сторона.
- пройдите через центральный столбец и два соседних столбца и найдите максимум.
- если в центральной колонке - это наш пик
- если он находится в левой части, запустите этот алгоритм на subarray
left_side + central_column
- если это справа сторона, запустите этот алгоритм на subarray
right_side + central_column
почему это работает:
в случаях, если максимальный элемент находится в Центральном столбце - очевидно. Если это не так, мы можем перейти от этого максимума к возрастающим элементам и определенно не пересечем центральный ряд, поэтому пик определенно будет существовать в соответствующей половине.
почему это O (n):
Шаг № 3 занимает меньше или равна max_dimension
итераций и max_dimension
по крайней мере, половинки на каждые два шага алгоритма. Это дает n+n/2+n/4+...
что это O(n)
. Важная деталь: мы разделены максимальным направлением. Для квадратных массивов это означает, что направления разделения будут чередоваться. Это отличается от последней попытки в PDF, с которой вы связались.
примечание: Я не уверен, что он точно соответствует алгоритму в коде, который вы дали, это может быть или не может быть другим подходом.
вот рабочий Java-код который реализует алгоритм @maxim1000. Следующий код находит пик в 2D массив за линейное время.
import java.util.*;
class Ideone{
public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{
new Ideone().run();
}
int N , M ;
void run(){
N = 1000;
M = 100;
// arr is a random NxM array
int[][] arr = randomArray();
long start = System.currentTimeMillis();
// for(int i=0; i<N; i++){ // TO print the array.
// System. out.println(Arrays.toString(arr[i]));
// }
System.out.println(findPeakLinearTime(arr));
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("time taken : " + (end-start));
}
int findPeakLinearTime(int[][] arr){
int rows = arr.length;
int cols = arr[0].length;
return kthLinearColumn(arr, 0, cols-1, 0, rows-1);
}
// helper function that splits on the middle Column
int kthLinearColumn(int[][] arr, int loCol, int hiCol, int loRow, int hiRow){
if(loCol==hiCol){
int max = arr[loRow][loCol];
int foundRow = loRow;
for(int row = loRow; row<=hiRow; row++){
if(max < arr[row][loCol]){
max = arr[row][loCol];
foundRow = row;
}
}
if(!correctPeak(arr, foundRow, loCol)){
System.out.println("THIS PEAK IS WRONG");
}
return max;
}
int midCol = (loCol+hiCol)/2;
int max = arr[loRow][loCol];
for(int row=loRow; row<=hiRow; row++){
max = Math.max(max, arr[row][midCol]);
}
boolean centralMax = true;
boolean rightMax = false;
boolean leftMax = false;
if(midCol-1 >= 0){
for(int row = loRow; row<=hiRow; row++){
if(arr[row][midCol-1] > max){
max = arr[row][midCol-1];
centralMax = false;
leftMax = true;
}
}
}
if(midCol+1 < M){
for(int row=loRow; row<=hiRow; row++){
if(arr[row][midCol+1] > max){
max = arr[row][midCol+1];
centralMax = false;
leftMax = false;
rightMax = true;
}
}
}
if(centralMax) return max;
if(rightMax) return kthLinearRow(arr, midCol+1, hiCol, loRow, hiRow);
if(leftMax) return kthLinearRow(arr, loCol, midCol-1, loRow, hiRow);
throw new RuntimeException("INCORRECT CODE");
}
// helper function that splits on the middle
int kthLinearRow(int[][] arr, int loCol, int hiCol, int loRow, int hiRow){
if(loRow==hiRow){
int ans = arr[loCol][loRow];
int foundCol = loCol;
for(int col=loCol; col<=hiCol; col++){
if(arr[loRow][col] > ans){
ans = arr[loRow][col];
foundCol = col;
}
}
if(!correctPeak(arr, loRow, foundCol)){
System.out.println("THIS PEAK IS WRONG");
}
return ans;
}
boolean centralMax = true;
boolean upperMax = false;
boolean lowerMax = false;
int midRow = (loRow+hiRow)/2;
int max = arr[midRow][loCol];
for(int col=loCol; col<=hiCol; col++){
max = Math.max(max, arr[midRow][col]);
}
if(midRow-1>=0){
for(int col=loCol; col<=hiCol; col++){
if(arr[midRow-1][col] > max){
max = arr[midRow-1][col];
upperMax = true;
centralMax = false;
}
}
}
if(midRow+1<N){
for(int col=loCol; col<=hiCol; col++){
if(arr[midRow+1][col] > max){
max = arr[midRow+1][col];
lowerMax = true;
centralMax = false;
upperMax = false;
}
}
}
if(centralMax) return max;
if(lowerMax) return kthLinearColumn(arr, loCol, hiCol, midRow+1, hiRow);
if(upperMax) return kthLinearColumn(arr, loCol, hiCol, loRow, midRow-1);
throw new RuntimeException("Incorrect code");
}
int[][] randomArray(){
int[][] arr = new int[N][M];
for(int i=0; i<N; i++)
for(int j=0; j<M; j++)
arr[i][j] = (int)(Math.random()*1000000000);
return arr;
}
boolean correctPeak(int[][] arr, int row, int col){//Function that checks if arr[row][col] is a peak or not
if(row-1>=0 && arr[row-1][col]>arr[row][col]) return false;
if(row+1<N && arr[row+1][col]>arr[row][col]) return false;
if(col-1>=0 && arr[row][col-1]>arr[row][col]) return false;
if(col+1<M && arr[row][col+1]>arr[row][col]) return false;
return true;
}
}