Четкое объяснение "тета-соединения" в реляционной алгебре?

оставив SQL в секунду...

оператор отношения принимает одно или несколько отношений в качестве параметров и приводит к отношению. Поскольку отношение не имеет атрибутов с повторяющимися именами по определению, реляционные операции Theta join и natural join будут "удалять повторяющиеся атрибуты."[Большая проблема с публикацией примеров в SQL для объяснения операций отношений, как вы просили, заключается в том, что результат SQL-запроса не является отношением, потому что, среди других грехов, он могут иметь повторяющиеся строки и/или столбцы.]

операция реляционного Декартового произведения (результаты в отношении) отличается от заданного Декартового произведения (результаты в наборе пар). Слово "картезианский" здесь не особенно полезно. На самом деле Кодд называл свой примитивный оператор "продуктом".

истинно реляционный язык Учебник D отсутствует оператор произведения, а произведение не является примитивным оператором в реляционной алгебре, предложенной соавтором Учебник Д Хью Дарвен**. Это связано с тем, что естественное соединение двух отношений без имен атрибутов приводит к тому же отношению, что и произведение тех же двух отношений, т. е. естественное соединение является более общим и, следовательно, более полезным.

рассмотрим следующие примеры (учебник D):

WITH RELATION { TUPLE { Y 1 } , TUPLE { Y 2 } , TUPLE { Y 3 } } AS R1 ,
     RELATION { TUPLE { X 1 } , TUPLE { X 2 } } AS R2 :
R1 JOIN R2

возвращает произведение отношений, т. е. степень два (т. е. два атрибута,X и Y) и мощность 6 (2 х 3 = 6 кортежи.)

WITH RELATION { TUPLE { Y 1 } , TUPLE { Y 2 } , TUPLE { Y 3 } } AS R1 ,
     RELATION { TUPLE { Y 1 } , TUPLE { Y 2 } } AS R2 :
R1 JOIN R2

возвращает естественное соединение отношений, т. е. степень одного (т. е. заданное объединение атрибутов, дающих один атрибут Y) и мощность 2 (т. е. удалены дубликаты кортежей).

Я надеюсь, что приведенные выше примеры объясняют, почему ваше утверждение" что набор из 13 X набор из 4 = 52 " не является строго правильным.

аналогично, учебник D не включает оператор тета-соединения. Это в основном потому, что другие операторы (например, естественное соединение и ограничение) делают его ненужным и не очень полезным. Напротив, примитивные операторы Codd включали продукт и ограничение, которые можно использовать для выполнения тета-соединения.

SQL имеет явный оператор продукта с именем CROSS JOIN который заставляет результат быть продуктом, даже если это влечет за собой нарушение 1NF путем создания повторяющихся столбцов (атрибутов). Рассмотрим SQL, эквивалентный последнему Tutoral D exmaple сверху:

WITH R1 AS (SELECT * FROM (VALUES (1), (2), (3)) AS T (Y)), 
     R2 AS (SELECT * FROM (VALUES (1), (2)) AS T (Y))
SELECT * 
  FROM R1 CROSS JOIN R2;

это возвращает табличное выражение с двумя столбцами (а не одним атрибутом), которые называются Y (!!) и 6 строк, т. е.

SELECT c1 AS Y, c2 AS Y 
  FROM (VALUES (1, 1), 
               (2, 1), 
               (3, 1), 
               (1, 2), 
               (2, 2), 
               (3, 2)
       ) AS T (c1, c2);

** то есть, Хотя существует только одна реляционная модель (т. е. Codd), может быть более одной реляционной алгебры (т. е. Codd-только одна).