Что означает "Матрица пути" и "транзитивное замыкание" графа (направленное и Неориентированное)?

Я думаю, что ответ ункулункулу довольно полный, но, учитывая JMSA, кажется неудовлетворенный, Я сделаю еще одну попытку.

давайте начнем не с матрицы пути, а с матрица смежности. Матрица смежности является стандартным представлением графа. Если adj является матрицей смежности для некоторого графа G, потом adj[i][j] ==1 если vertex Я примыкает в вершину j (т. е. есть ребро от Я to j), и 0 иначе. Другими словами,adj[i][j] == 1 если и только если мы можем получить от vertex Я в вершину j на один "шаг".

Теперь давайте определим другую матрицу, которую я назову adj2: adj2[i][j] = = 1 если и только если мы можем получить от vertex Я до вершины j на два шагов или меньше. Вы можете назвать это "двухэтапной матрицей смежности". Важно то, что adj2 можно определить в терминах adj:

def adj2(i,j):
    if adj(i,j) == 1:
        return 1
    else:
        for k in range(0,n): # where n is the number of vertices in G
            if adj(i,k) == 1 and adj(k,j) == 1:
                return 1
    return 0

то есть adj2[i][j] is 1 если Я примыкает к j (т. е. adj[i][j] ==1) или если существует какая-то другая вершина k такие, что вы можете выйти из Я to k и далее с k to j (т. е. adj[i][j] = = 1 и adj[k] [j] = = 1).

как вы можете себе представить, вы можете использовать ту же логику для определения "три шага" матрица смежности adj3, adj4, adj5 и так далее. Если вы продолжаете достаточно долго (например, до adjn, где n - количество вершин в графе), вы получаете матрицу, которая говорит вам есть ли путь любой длины из вершины Я в вершину j. Это, конечно, также будет матрицей пути графа: adjn[i][j] = = путь[i] [j] для всех i, j. (Примечание: не путайте матрицу пути с расстояние матрицы.)

математик сказал бы, что путь[i][j] является транзитивным замыканием adj[i][j] в графе G.

транзитивное замыкания существуют независимо от теории графов;adj не единственная вещь с транзитивным замыканием. Грубо говоря, все функции (в смысле программирования), которые принимают два аргумента и возвращают логическое значение есть транзитивное замыкание.

равенство ( = = ) и неравенство (, =) операторы являются знакомыми примерами таких функций. Они отличаются от adj, однако, в том, что они сами транзитивное. "f (i,j) является транзитивным" означает, что если f (i,j) == true и f (j,k) == true, потом f (i, k) == true. Вы знаете, что это свойство верно, скажем, для отношения" меньше, чем": от a и b , можно сделать вывод, что a . Транзитивное замыкание транзитивной функции f - это просто f.

adj не вообще транзитивным. Рассмотрим график:

v1---v2---v3

В графе adj может представлять функцию busBetween (city1, city2). Здесь есть автобус, на котором можно доехать от v1 до v2 (adj[1][2] == 1) и автобус от v2 до v3 (adj[2][3] == 1), но нет автобуса из v1 непосредственно в v3 (adj[1][2] == 0). Есть bus-path от v1 до v3, но v1 и v3 не являются соседними шинами. Для этого графика,adj не является транзитивным, поэтому путь, который является транзитивным замыканием adj отличается от adj.

если мы добавим ребро между v1 и v3,

v1---v2---v3
 \        /
   \----/

затем adj становится транзитивным: во всех возможных случаях, adj[i][j] == 1 и adj[j][k] = = 1 подразумевает adj[i][k] == 1. Для этого графика,путь и adj то же самое. То, что график неориентирован, соответствует "симметричность" имущество. Если бы мы добавили петли к каждой вершине так, чтобы v1, v2 и v3 были смежны друг с другом, результирующий граф был бы транзитивным, симметричным и "рефлексивные", и можно сказать, что представляет равенство ( = = ) над множеством {1,2,3}.

Это начинает иллюстрировать, как графики могут представлять различные функции, и как свойства функции отражаются в свойствах графа. В общем, если вы позволите adj представляют собой некоторую функцию f, потом путь является транзитивным замыканием f.

для формального определения транзитивных замыканий я ссылаюсь на Википедия. Это не сложная концепция, как только вы понимаете весь математический жаргон.