Что такое свободные монады?

вот еще более простой ответ: монада-это то, что "вычисляет", когда монадический контекст свернут join :: m (m a) -> m a (ссылаясь, что >>= можно определить как (join .) . flip fmap). Вот как монады переносят контекст через последовательную цепочку вычислений: потому что в каждой точке серии контекст из предыдущего вызова сворачивается со следующим.

A свободные монады удовлетворяет всем законам монады, но не рушится (т. е. расчет). Это просто создает вложенный ряд контекстов. Пользователь, создающий такое свободное монадическое значение, отвечает за что-то с этими вложенными контекстами, так что смысл такой композиции можно отложить до тех пор, пока не будет создано монадическое значение.

свободный фу - это самая простая вещь, которая удовлетворяет всем законам "фу". То есть он точно удовлетворяет законам, необходимым для того, чтобы быть фу и ничего лишнего.

забывчивый функтор-это тот, который" забывает " часть структуры, когда она переходит из одной категории в другую.

учитывая функторы F : D -> C и G : C -> D, мы говорим F -| G, F слева примыкает к G или G справа примыкает к F всякий раз, когда forall a, b:F a -> b is изоморфно a -> G b, где стрелки приходят из соответствующих категорий.

формально свободный функтор остается сопряженным с забывчивым функтором.

Свободный Моноид

давайте начнем с более простого примера, свободного моноида.

возьмите моноид, который определяется некоторым набором носителей T, двоичная функция для смешивания пары элементов вместе f :: T → T → T и unit :: T, таких, что у вас есть ассоциативный закон и закон тождества:f(unit,x) = x = f(x,unit).

вы можете сделать функтор U из категории моноидов (где стрелки моноидом гомоморфизмы, то есть, они обеспечивают их карте unit to unit на другом моноиде, и что вы можете составить до или после сопоставления с другим моноидом без изменения значения) в категорию наборов (где стрелки - это просто функциональные стрелки), которые "забывают" об операции и unit и просто дает вам перевозчика набор.

тогда вы можете определить функтор F из категории множеств обратно в категорию моноидов, которая слева примыкает к этому функтору. Этот функтор является функтором, который отображает множество a в моноиде [a], где unit = [] и mappend = (++).

Итак, чтобы рассмотреть наш пример до сих пор, в псевдо-Haskell:

U : Mon → Set -- is our forgetful functor
U (a,mappend,mempty) = a

F : Set → Mon -- is our free functor
F a = ([a],(++),[])

F a → b изоморфна a → U b

теперь запомните цель F в категории Mon из моноидов, где стрелки моноидом гомоморфизмы, поэтому нам нужно показать, что моноидом гомоморфизм [a] → b может быть точно описана функцией от a → b.

в Хаскелле мы называем ту сторону, которая живет в Set (РП, Hask, категория типов Haskell, которые мы притворяемся Set), just foldMap, которое специализировано от Data.Foldable к спискам имеет тип Monoid m => (a → m) → [a] → m.

есть последствия, которые следуют из того, что это является дополнением. Примечательно, что если вы забудете, то создайте с free, а затем снова забудьте, так же, как вы забыли один раз, и мы можем использовать это для создания монадического соединения. с UFUF ~ U(FUF) ~ UF, и мы можем передать тождественный моноидный гомоморфизм из [a] to [a] через изоморфизм, который определяет наши adjunction, получите, что изоморфизм списка из [a] → [a] является функцией типа a -> [a], и это просто возврат для списков.

вы можете составить все это более непосредственно, описав список в этих терминах с:

newtype List a = List (forall b. Monoid b => (a -> b) -> b)

Свободная Монада

что это Свободные Монады?

Ну, мы делаем то же самое, что и раньше, мы начинаем с забывчивого функтора U из категории монад, где стрелки являются гомоморфизмами монады в категорию эндофункторов, где стрелки являются естественными преобразованиями, и мы ищем функтор, который остается сопряженным с этим.

Итак, как это относится к понятию свободной монады, как оно обычно используется?

зная, что что-то является свободной монады, Free f, говорит вам, что дает гомоморфизм монады от Free f -> m, то же самое (изоморфно), что и естественное преобразование (гомоморфизм функтора) из f -> m. Помни!--10--> должно быть изоморфно a -> U b для того, чтобы F оставалось примыкающим к U. U здесь сопоставлены монады функторам.

F по крайней мере изоморфен Free тип, который я использую в моем free пакет на hackage.

мы могли бы также построить его в более жесткой аналогии с кодом выше для свободного списка, определив

class Algebra f x where
  phi :: f x -> x

newtype Free f a = Free (forall x. Algebra f x => (a -> x) -> x)

Cofree Comonads

мы можем построить что - то подобное, посмотрев справа примыкает к забывчивому функтору, предполагая, что он существует. Свободный функтор просто / прямо сопряжен/ с забывчивым функтором, и по симметрии знать, что что-то является свободной комонадой, то же самое, что знать, что давать гомоморфизм комонады из w -> Cofree f это то же самое, что дать естественное преобразование из w -> f.

Свободная Монада (структура данных) относится к монаде (классу), как список (структура данных) к Моноиду (классу): это тривиальная реализация, где вы можете решить, как будет объединено содержимое.

вы, вероятно, знаете, что такое Монада и что каждая Монада нуждается в конкретной (Монада-законопослушной) реализации либо fmap + join + return или bind + return.

предположим, что у вас есть функтор (реализация fmap) но остальное зависит от значений и выбора, сделанных во время выполнения, что означает, что вы хотите иметь возможность использовать свойства монады, но хотите выбрать функции монады после этого.

это можно сделать с помощью свободной монады (структуры данных), которая обертывает функтор (тип) таким образом, чтобы join - это скорее укладка этих функторов, чем сокращение.

реальный return и join вы хотите использовать, теперь можете быть даны в качестве параметров функция уменьшения foldFree:

foldFree :: Functor f => (a -> b) -> (f b -> b) -> Free f a -> b
foldFree return join :: Monad m => Free m a -> m a

чтобы объяснить типы, мы можем заменить Functor f С Monad m и b С (m a):

foldFree :: Monad m => (a -> (m a)) -> (m (m a) -> (m a)) -> Free m a -> (m a)

свободная монада Хаскелла-это список функторов. Сравнить:

data List a   = Nil    | Cons  a (List a  )

data Free f r = Pure r | Free (f (Free f r))

Pure аналогично Nil и Free аналогично Cons. Свободная монада хранит список функторов вместо списка значений. Технически вы можете реализовать свободные монады, используя другой тип данных,но любая реализация должна быть изоморфна вышеупомянутой.

вы используете бесплатные монады, когда вам нужно абстрактное дерево синтаксиса. Базовый функтор свободной монады-это форма каждого шага синтаксического дерева.

мой пост, который кто-то уже связал, дает несколько примеров того, как строить абстрактные синтаксические деревья с бесплатным монады

я думаю, что простой конкретный пример поможет. Предположим, у нас есть функтор

data F a = One a | Two a a | Two' a a | Three Int a a a

с явными fmap. Тогда Free F a - Это тип деревьев, листья которых имеют тип a и чьи узлы помечены One, Two, Two' и Three. One-узлы имеют одного ребенка, Two и Two'-узлы имеют двух детей и Three-узлы имеют три, а также помечены Int.

Free F - это монада. return карты x к дереву, которое является просто листом со значением x. t >>= f смотрит на каждый из листьев и заменяет их деревьями. Когда лист имеет значение y он заменяет этот лист деревом f y.

диаграмма делает это более ясным, но у меня нет возможностей для легкого рисования!