Доказательство правильности алгоритма распределения денег Фаулера

Мартин Фаулер имеет класс денег это имеет процедуру распределения денег. Эта процедура распределяет деньги в соответствии с заданным списком коэффициентов без потери какой-либо ценности путем округления. Он распределяет любое остаточное значение по результатам.

например, $100, выделенные "коэффициентами" (1, 1, 1), дадут ($34, $33, $33).

здесь allocate функция:

public long[] allocate(long amount, long[] ratios) {
    long total = 0;
    for (int i = 0; i < ratios.length; i++) total += ratios[i];

    long remainder = amount;
    long[] results = new long[ratios.length];
    for (int i = 0; i < results.length; i++) {
        results[i] = amount * ratios[i] / total;
        remainder -= results[i];
    }

    for (int i = 0; i < remainder; i++) {
        results[i]++;
    }

    return results;
}

(ради этого вопроса, чтобы сделать его проще, я взял на свобода замены денежных типов на длинные.)

вопрос, откуда я знаю, что это правильно? Все это кажется самоочевидным, за исключением финала цикла. Я думаю, что для доказательства правильности функции было бы достаточно доказать, что в конечном for-цикле верно следующее соотношение:

remainder < results.length

кто-нибудь может это доказать?