Эффективное решение памяти C++ для системы линейной алгебры Ax=b

короткий ответ: не использовать boost в LAPACK привязки, они были разработаны для плотных матриц, не разреженные матрицы, используйте UMFPACK вместо.

ответ: UMFPACK является одной из лучших библиотек для решения Ax=b, Когда A большой и разреженный.

• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/UMFPACK/Doc/QuickStart.pdf

Ниже приведен пример кода (на основе umfpack_simple.c), который генерирует простой A и b и решает Ax = b.

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "umfpack.h"

int    *Ap; 
int    *Ai;
double *Ax; 
double *b; 
double *x; 

/* Generates a sparse matrix problem: 
   A is n x n tridiagonal matrix
   A(i,i-1) = -1;
   A(i,i) = 3; 
   A(i,i+1) = -1; 
*/
void generate_sparse_matrix_problem(int n){
  int i;  /* row index */ 
  int nz; /* nonzero index */
  int nnz = 2 + 3*(n-2) + 2; /* number of nonzeros*/
  int *Ti; /* row indices */ 
  int *Tj; /* col indices */ 
  double *Tx; /* values */ 

  /* Allocate memory for triplet form */
  Ti = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tj = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tx = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for compressed sparse column form */
  Ap = malloc(sizeof(int)*(n+1));
  Ai = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Ax = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for rhs and solution vector */
  x = malloc(sizeof(double)*n);
  b = malloc(sizeof(double)*n);

  /* Construct the matrix A*/
  nz = 0;
  for (i = 0; i < n; i++){
    if (i > 0){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i-1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }

    Ti[nz] = i;
    Tj[nz] = i;
    Tx[nz] = 3;
    nz++;

    if (i < n-1){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i+1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }
    b[i] = 0;
  }
  b[0] = 21; b[1] = 1; b[2] = 17;
  /* Convert Triplet to Compressed Sparse Column format */
  (void) umfpack_di_triplet_to_col(n,n,nnz,Ti,Tj,Tx,Ap,Ai,Ax,NULL);

  /* free triplet format */ 
  free(Ti); free(Tj); free(Tx);
}


int main (void)
{
    double *null = (double *) NULL ;
    int i, n;
    void *Symbolic, *Numeric ;
    n = 500000;
    generate_sparse_matrix_problem(n);
    (void) umfpack_di_symbolic (n, n, Ap, Ai, Ax, &Symbolic, null, null);
    (void) umfpack_di_numeric (Ap, Ai, Ax, Symbolic, &Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_symbolic (&Symbolic);
    (void) umfpack_di_solve (UMFPACK_A, Ap, Ai, Ax, x, b, Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_numeric (&Numeric);
    for (i = 0 ; i < 10 ; i++) printf ("x [%d] = %g\n", i, x [i]);
    free(b); free(x); free(Ax); free(Ai); free(Ap);
    return (0);
}

функции generate_sparse_matrix_problem создает матрицу A и правая сторона b. Матрица сначала строится в триплетной форме. Этот векторы Ti, Tj и Tx полностью описывают A. Триплетная форма проста в создании, но эффективные методы разреженной матрицы требуют сжатого формата разреженных столбцов. Преобразование выполняется с umfpack_di_triplet_to_col.

символическая факторизация выполняется с помощью umfpack_di_symbolic. Разреженный LU разложение A осуществляется с umfpack_di_numeric. Нижние и верхние треугольные решения выполняются с помощью umfpack_di_solve.

С n как 500,000, на моей машине, вся программа занимает около секунды, чтобы запустить. Valgrind сообщает, что 369,239,649 байт (чуть более 352 MB) были выделены.

Примечание этот страница обсуждает поддержку Boost для разреженных матриц в триплете (координата) и сжатый формат. Если хотите, вы можете написать процедуры для преобразования этих объектов boost к простым массивам UMFPACK требует в качестве входных данных.