FindRoot против Solve, NSolve и уменьшает

сначала какой-то несущественный контекст для удовольствия. Мой настоящий вопрос гораздо ниже. Пожалуйста, не трогайте циферблат.

я играю с новыми вероятностными функциями Mathematica 8. Цель состоит в том, чтобы сделать простой анализ мощности. Сила эксперимента равна 1 минус вероятность ошибки типа II (т. е. "никакого эффекта", тогда как в реальности эффект есть).

в качестве примера я выбрал эксперимент, чтобы определить, является ли монета является справедливым. Предположим, вероятность бросать хвосты дано b (Справедливая монета имеет b=0.5), то власть определить, что монета смещена для эксперимента с n монета сальто дается

1 - Probability[-in <= x - n/2 <= in, x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]]

С на размер отклонения от ожидаемого среднего для справедливой монеты, которую я готов назвать не подозрительной (на выбирается так, что за честную монету переворачивается n раза количество хвостов будет около 95% времени в течение значит +/- на; это, кстати, определяет размер ошибки типа I, вероятность неправильно утверждать о существовании эффекта).

Mathematica красиво рисует график вычисляемой мощности:

n = 40;
in = 6;
Plot[1-Probability[-in<=x-n/2<=in,x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]], {b, 0, 1},
 Epilog -> Line[{{0, 0.85}, {1, 0.85}}], Frame -> True,
 FrameLabel -> {"P(tail)", "Power", "", ""},
 BaseStyle -> {FontFamily -> "Arial", FontSize -> 16, 
   FontWeight -> Bold}, ImageSize -> 500]

я провел линию мощностью 85%, что обычно считается разумным количеством мощности. Теперь все, что мне нужно, это точки, где кривая мощности пересекается с этой линией. Это говорит мне о минимальном смещении монета должна быть такой, чтобы у меня было разумное ожидание найти ее в эксперименте с 40 сальто.

Итак, я попробовал:

In[47]:= Solve[ Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
    x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]] == 0.15 && 
  0 <= b <= 1, b]

Out[47]= {{b -> 0.75}}

это терпит неудачу, потому что для b = 0.75 мощность:

In[54]:= 1 - Probability[-in <= x - n/2 <= in, x [Distributed] BinomialDistribution[n, 0.75]]

Out[54]= 0.896768

NSolve находит один и тот же результат. Reduceделает следующее:

In[55]:= res =  Reduce[Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
     x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]] == 0.15 && 
   0 <= b <= 1, b, Reals]

Out[55]= b == 0.265122 || b == 0.73635 || b == 0.801548 || 
 b == 0.825269 || b == 0.844398 || b == 0.894066 || b == 0.932018 || 
 b == 0.957616 || b == 0.987099

In[56]:= 1 -Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
              x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]] /. {ToRules[res]}

Out[56]= {0.85, 0.855032, 0.981807, 0.994014, 0.99799, 0.999965, 1., 1., 1.}

и Reduce удается найти два решения, но он находит немало других, которые умерли не так.

FindRoot работает лучше здесь:

In[57]:= FindRoot[{Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
             x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]] - 0.15`}, {b, 0.2, 0, 0.5}]
         FindRoot[{Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
             x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]] - 0.15`}, {b, 0.8, 0.5, 1}]

Out[57]= {b -> 0.265122}

Out[58]= {b -> 0.734878}

ОК, длинное вступление. Мой вопрос: почему решить, NSolve и уменьшить неудачу так жалко (и молча! здесь? ИМХО, это не может быть численная точность, так как значения мощности, найденные для различных решений, кажутся правильными (они идеально лежат на кривой мощности) и значительно удалены от реального решения.

для mma8-лишенный г-н Волшебник: выражение для власти является тяжелым:

In[42]:= Probability[-in <= x - n/2 <= in, 
 x [Distributed] BinomialDistribution[n, b]]

Out[42]= 23206929840 (1 - b)^26 b^14 + 40225345056 (1 - b)^25 b^15 + 
 62852101650 (1 - b)^24 b^16 + 88732378800 (1 - b)^23 b^17 + 
 113380261800 (1 - b)^22 b^18 + 131282408400 (1 - b)^21 b^19 + 
 137846528820 (1 - b)^20 b^20 + 131282408400 (1 - b)^19 b^21 + 
 113380261800 (1 - b)^18 b^22 + 88732378800 (1 - b)^17 b^23 + 
 62852101650 (1 - b)^16 b^24 + 40225345056 (1 - b)^15 b^25 + 
 23206929840 (1 - b)^14 b^26

и я не ожидалось Solve справиться с этим, но я возлагал большие надежды на NSolve и Reduce. Обратите внимание, что для n=30, на=5 Solve, NSolve, Reduce и FindRoot все находят одинаковые, правильные решения (конечно, порядок полиномов там ниже).