Как найти общее количество минимальных остовных деревьев на графике?

Я не хочу, чтобы найти все минимальные остовные деревья, но я хочу знать, сколько их там, вот метод, который я считал:

• Найдите одно минимальное связующее дерево, используя алгоритм prim или kruskal, а затем найдите весом всех связующих деревьев и увеличить счетчик, когда он равен весу минимального связующего дерева.

Я не мог найти никакого метода, чтобы найти веса всех охватывающих деревьев а также количество остовных деревьев может быть очень большим, поэтому этот метод может не подходить для задачи. Поскольку число минимальных охватывающих деревьев экспоненциально, подсчет их не будет хорошей идеей.

• все веса будут положительными.
• мы также можем предположить, что ни один вес не будет отображаться более трех раз на графике.
• число вершин будет меньше или равно 40 000.
• число ребер будет меньше или равен 100 000.

существует только одно минимальное связующее дерево в графе, где Весы вершин различны. Я думаю, что лучший способ найти количество минимального остовного дерева должен быть чем-то, используя это свойство.

редактировать:

Я нашел решение этой проблемы, но я не уверен, почему это работает. Может кто-нибудь объяснить.

решение: проблема нахождения длины минимального связующего дерева довольно хорошо известно; два простейших алгоритма поиска минимального остовного дерева-алгоритм Прима и алгоритм Крускала. Из этих двух алгоритм Крускала обрабатывает ребра в порядке увеличения их веса. Однако есть важный ключевой момент алгоритма Крускала: при рассмотрении списка ребер, отсортированных по весу, ребра могут быть жадно добавлены в связующее дерево (если они не соединяют две вершины, которые уже каким-то образом связаны).

теперь рассмотрим частично сформированное связующее дерево с использованием алгоритма Крускала. Мы вставили некоторое количество ребер с длиной меньше N и теперь должны выбрать несколько ребер длины N. алгоритм утверждает, что мы должны вставить эти ребра, если это возможно, перед любыми ребрами с длиной больше N. Однако мы можем вставить эти ребра в любом порядке, который мы хотим. Также обратите внимание, что независимо от того, какие ребра мы вставляем, это не меняет связность графика вообще. (Рассмотрим два возможных графы, один с ребром от вершины A до вершины B и один без. Второй граф должен иметь A и B как часть одного и того же Связного компонента; в противном случае ребро от A до B было бы вставлено в одной точке.)

эти два факта вместе означают, что наш ответ будет произведением количества способов, используя алгоритм Крускала, вставить ребра длины K (для каждого возможного значения K). Поскольку существует не более трех ребер любой длины, различные случаи могут быть грубый принудительный, и подключенные компоненты могут быть определены после каждого шага, как это было бы обычно.