Как сделать численное интегрирование с волновой функцией квантового гармонического осциллятора?

Как сделать численное интегрирование (какой численный метод и какие трюки использовать) для одномерного интегрирования в бесконечном диапазоне, где одна или несколько функций в Интеграле 1д квантового гармонического осциллятора волновые функции. Среди прочего я хочу вычислить матричные элементы некоторой функции в базисе гармонического осциллятора:

phin(x) = Nn Hn(x) exp (- x2/2)
где Hn(x) is Эрмита полином

Vm, n = int_ {- infinity}^{infinity} phim(x) V (x) phin(x) dx

также в случае, когда существуют квантовые гармонические волновые функции с различной шириной.

проблема в том, что волновые функции phin(x) имеют колебательное поведение, что является проблемой для больших n, и алгоритм, такой как адаптивная квадратура Гаусса-Кронрода из GSL (научная библиотека GNU), занимает много времени для вычисления и имеет большие ошибки.

6
numerical numerical-analysis numerical-integration numerical-methods physics

6 ответов

неполный ответ, так как в данный момент у меня немного мало времени; если другие не могут завершить картину, я могу предоставить более подробную информацию позже.

  1. применять ортогональность волновых функций, когда и где это возможно. Это должно значительно сократить объем вычислений.

  2. делайте аналитически все, что сможете. Поднимите константы, разделите интегралы на части, что угодно. Изолируйте область интереса; большинство волновых функций band-limited, и сокращение области интересов будет делать много, чтобы сэкономить работу.

  3. для самой квадратуры вы, вероятно, хотите разделить волновые функции на три части и интегрировать каждую отдельно: колебательный бит в центре плюс экспоненциально распадающиеся хвосты с обеих сторон. Если волновая функция нечетная, Вам повезет, и хвосты будут отменять друг друга, то есть вам нужно беспокоиться только о центре. Для даже wavefunctions вам нужно только интегрировать раз и два (ура симметрии!). В противном случае интегрируйте хвосты, используя квадратурное правило Гаусса-Лагерра высокого порядка. Возможно, вам придется вычислить правила самостоятельно; я не знаю, перечислены ли в таблицах хорошие правила Гаусса-Лагерра, поскольку они используются не слишком часто. Вероятно, вы также хотите проверить поведение ошибки, поскольку количество узлов в правиле растет; прошло много времени с тех пор, как я использовал правила Гаусса-Лагерра, и я не помню, демонстрируют ли они феномен Рунге. Интегрировать часть центра какой бы метод вам ни нравился; Гаусс-Кронрод-это, конечно, солидный выбор, но есть также квадратура Фейера (которая иногда масштабируется лучше до большого количества узлов, которые могут работать лучше на колебательном Интеграле) и даже трапециевидное правило (которое демонстрирует потрясающую точность с определенными колебательными функциями). Выберите один и попробуйте; если результаты плохие, дайте другой метод выстрел.

самый сложный вопрос когда-либо на SO? Вряд ли :)

8

Я бы рекомендовал несколько других вещей:

  1. попробуйте преобразовать функцию в конечную область, чтобы сделать интеграцию более управляемой.
  2. используйте симметрию, где это возможно-разбейте ее на сумму двух интегралов от отрицательной бесконечности до нуля и от нуля до бесконечности и посмотрите, является ли функция симметрией или антисимметричной. Это может сделать ваши вычисления проще.
  3. посмотреть в квадратура Гаусса-Лагерра и посмотреть, может ли это помочь вы.
4

на WKB приближение?

1

Я не собираюсь объяснять и квалифицировать все это прямо сейчас. Этот код написан как есть и, вероятно, неверно. Я даже не уверен, что это код, который я искал, я просто помню, что много лет назад я сделал эту проблему, и при поиске в моих архивах я нашел это. Вам нужно будет построить вывод самостоятельно, предоставляется некоторая инструкция. Я скажу, что интеграция по бесконечному диапазону-это проблема, которую я рассмотрел, и при выполнении кода она указывает на ошибку округления при "бесконечность" (что численно означает просто большой).

// compile g++ base.cc -lm
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <fstream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main ()
        {
        double xmax,dfx,dx,x,hbar,k,dE,E,E_0,m,psi_0,psi_1,psi_2;
        double w,num;
        int n,temp,parity,order;
        double last;
        double propogator(double E,int parity);
        double eigen(double E,int parity);
         double f(double x, double psi, double dpsi);
        double g(double x, double psi, double dpsi);
        double rk4(double x, double psi, double dpsi, double E);

        ofstream datas ("test.dat");

        E_0= 1.602189*pow(10.0,-19.0);// ev joules conversion
        dE=E_0*.001;
//w^2=k/m                 v=1/2 k x^2             V=??? = E_0/xmax   x^2      k-->
//w=sqrt( (2*E_0)/(m*xmax) );
//E=(0+.5)*hbar*w;

        cout << "Enter what energy level your looking for, as an (0,1,2...) INTEGER: ";
        cin >> order;

        E=0;
        for (n=0; n<=order; n++)
                {
                parity=0;
//if its even parity is 1 (true)
                temp=n;
                if ( (n%2)==0 ) {parity=1; }
                cout << "Energy " << n << " has these parameters: ";
                E=eigen(E,parity);
                if (n==order)
                        {
                        propogator(E,parity);
                        cout <<" The postive values of the wave function were written to sho.dat \n";
                        cout <<" In order to plot the data should be reflected about the y-axis \n";
                        cout <<"  evenly for even energy levels and oddly for odd energy levels\n";
                        }
                E=E+dE;
                }
        }

double propogator(double E,int parity)
        {
        ofstream datas ("sho.dat") ;

        double hbar =1.054*pow(10.0,-34.0);
        double m =9.109534*pow(10.0,-31.0);
        double E_0= 1.602189*pow(10.0,-19.0);
        double dx =pow(10.0,-10);
        double xmax= 100*pow(10.0,-10.0)+dx;
        double dE=E_0*.001;
        double last=1;
        double x=dx;
        double psi_2=0.0;
        double psi_0=0.0;
        double psi_1=1.0;
//      cout <<parity << " parity passsed \n";
        psi_0=0.0;
        psi_1=1.0;
        if (parity==1)
                {
                psi_0=1.0;
                psi_1=m*(1.0/(hbar*hbar))* dx*dx*(0-E)+1 ;
                }

        do
                {
                datas << x << "\t" << psi_0 << "\n";
                psi_2=(2.0*m*(dx/hbar)*(dx/hbar)*(E_0*(x/xmax)*(x/xmax)-E)+2.0)*psi_1-psi_0;
//cout << psi_1 << "=psi_1\n";
                psi_0=psi_1;
                psi_1=psi_2;
                x=x+dx;
                } while ( x<= xmax);
//I return 666 as a dummy value sometimes to check the function has run
        return 666;
        }


   double eigen(double E,int parity)
        {
        double hbar =1.054*pow(10.0,-34.0);
        double m =9.109534*pow(10.0,-31.0);
        double E_0= 1.602189*pow(10.0,-19.0);
        double dx =pow(10.0,-10);
        double xmax= 100*pow(10.0,-10.0)+dx;
        double dE=E_0*.001;
        double last=1;
        double x=dx;
        double psi_2=0.0;
        double psi_0=0.0;
        double psi_1=1.0;
        do
                {
                psi_0=0.0;
                psi_1=1.0;

                if (parity==1)
                        {double psi_0=1.0; double psi_1=m*(1.0/(hbar*hbar))* dx*dx*(0-E)+1 ;}
                x=dx;
                do
                        {
                        psi_2=(2.0*m*(dx/hbar)*(dx/hbar)*(E_0*(x/xmax)*(x/xmax)-E)+2.0)*psi_1-psi_0;
                        psi_0=psi_1;
                        psi_1=psi_2;
                        x=x+dx;
                        } while ( x<= xmax);


                if ( sqrt(psi_2*psi_2)<=1.0*pow(10.0,-3.0))
                        {
                        cout << E << " is an eigen energy and " << psi_2 << " is psi of 'infinity'  \n";
                        return E;
                        }
                else
                        {
                        if ( (last >0.0 && psi_2<0.0) ||( psi_2>0.0 && last<0.0) )
                                {
                                E=E-dE;
                                dE=dE/10.0;
                                }
                        }
                last=psi_2;
                E=E+dE;
                } while (E<=E_0);
        }

если этот код кажется правильным, неправильным, интересным или у вас есть конкретные вопросы, и я отвечу на них.

0

Я студент, специализирующийся на физике, и я также столкнулся с проблемой. В эти дни я продолжаю думать об этом вопросе и получаю свой собственный ответ. Думаю, это поможет вам решить этот вопрос.

1.В gsl есть функции, которые могут помочь вам интегрировать колебательную функцию--qawo & qawf. Возможно, вы можете установить значение,a. И интеграция может быть разделена на части буксировки, [0,a] и [a,pos_infinity]. В первом интервале вы можете используйте любую функцию интеграции gsl, и во втором интервале вы можете использовать qawo или qawf.

2.Или вы можете интегрировать функцию в верхний предел,b, который интегрирован в [0,b]. Таким образом, интеграция может быть вычислена с помощью метода легенды Гаусса, и это предусмотрено в gsl. Хотя может быть какая-то разница между реальным значением и вычисленным значением, но если вы установите b правильно, разница может быть проигнорирована. Пока ... как разница меньше точности вы хотите. И этот метод с помощью функции gsl вызывается только один раз и может использоваться много раз, потому что возвращаемое значение-это точка и ее соответствующий вес, а интеграция-это только сумма f(xi)*wi, для более подробной информации вы можете искать квадратуру Гаусса Лежандра в Википедии. Операция множественного и сложения выполняется намного быстрее, чем интеграция.

3.Существует также функция, которая может вычислить интеграцию области бесконечности--qagi, вы можете искать это в GSL-руководстве пользователя. Но это называется каждый раз, когда вам нужно рассчитать интеграцию, и это может вызвать некоторое время, но я не уверен, как долго он будет использовать в вас программу.

Я предлагаю нет.2 выбор я предложил.

0

Если вы собираетесь работать с функциями гармонического осциллятора меньше, чем n = 100, вы можете попробовать:

http://www.mymathlib.com/quadrature/gauss_hermite.html

программа вычисляет Интеграл через квадратуру Гаусса-Эрмита со 100 нулями и Весами (нулями H_100). Когда вы идете за Hermite_100 интегралов не так точны.

используя этот метод интеграции, я написал программу, вычисляющую именно то, что вы хотите рассчитайте, и это работает довольно хорошо. Кроме того, может быть способ выйти за пределы n=100, используя асимптотическую форму нулей Эрмита-полинома, но я не рассматривал ее.

0