уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, где (a,b,c) - Нормаль плоскости, А d-расстояние до начала координат. Это означает,что каждая точка (x,y, z), удовлетворяющая этому уравнению, является членом плоскости.

даны две плоскости:

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0

пересечение между ними-это набор точек, который проверяет оба уравнения. Чтобы найти точки вдоль этой линии, вы можете просто выбрать значение для x, любое значение, а затем решить уравнения для y и z.

y = (-c1z -a1x -d1) / b1
z = ((b2/b1)*(a1x+d1) -a2x -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

если вы x=0, это становится проще:

y = (-c1z -d1) / b1
z = ((b2/b1)*d1 -d2)/(c2 - c1*b2/b1)

поиск точки На линии

получить пересечение 2 плоскостей, вам нужна точка на линии и направление этой линии.

найти направление этой линии очень легко, просто пересечь 2 нормали 2 плоскостей, которые пересекаются.

lineDir = n1 × n2

но эта линия проходит через начало координат, а линия, которая проходит вдоль ваших плоских пересечений, может и нет. Итак,Мартинью-х ответ начать поиск точка на линии пересечения (в основном любой точка, которая находится на обеих плоскостях).

если вы хотите увидеть вывод для того, как это решить, вот математика за ним:

сначала пусть x=0. Теперь у нас есть 2 неизвестных в 2 уравнениях вместо 3 неизвестных в 2 уравнениях (мы произвольно выбрали одно из неизвестных).

тогда уравнения плоскости (члены были исключены, так как мы выбрали x=0):

B₁y + C₁z + D₁ = 0

B₂y + C₂z + D₂ = 0

мы хотим, чтобы y и z такие, что эти уравнения оба решаются правильно (=0) для B₁, C₁ дали.

Итак, просто умножьте верхний эквалайзер на (- B₂ / B₁) для получения

- B₂y + (- B₂ / B₁) * C₁z + (- B₂ / B₁) * D₁ = 0

B₂y + C₂z + D₂ = 0

добавить эквалайзер, чтобы получить

z = ((- B₂ / B₁) * D₁ - D₂ ) / (C₂ * Б₂ / B₁) * C₁)

бросьте z, который вы найдете в 1-м уравнении, чтобы найти y как

y = (- D₁ - C₁z) / B₁

Примечание лучшие переменной, чтобы сделать 0-с низкий коэффициенты, потому что он не несет никакой информации в любом случае. Так что если C₁ и C₂ были оба 0, выбирая z=0 (вместо x=0), были бы лучшим выбором.

вышеуказанное решение все еще может испортить, если B₁=0 (что не так уж маловероятно). Вы можете добавить некоторые операторы if, которые проверяют, если b₁=0, и если это так,обязательно решите для одной из других переменных.

решение с использованием пересечения 3 плоскостей

С пользователя ответ, решение замкнутой формы для пересечения 3 плоскостей было собственно в графике Gems 1. Формула такова:

P_intersection = (( point_on1 • П1 )( П2 × Н3 ) + ( point_on2 • Н2), (Н3 × Н1 ) + ( point_on3 • П3 )( П1 × П2 )) / дет(Н1,Н2,Н3)

фактически point_on1 • n1 = - d1 (предполагая, что вы пишете свои плоскости Ax + By + Cz + D=0, а не = - D). Таким образом, вы можете переписать его как:

P_intersection = ((- d1 ) (n2 × n3) + (- d2 )( n3 × n1 ) + (- d3 )( n1 × n2 )) / det (n1,n2,n3)

функция, которая пересекает 3 плоскости:

// Intersection of 3 planes, Graphics Gems 1 pg 305
static Vector3f getIntersection( const Plane& plane1, const Plane& plane2, const Plane& plane3 )
{
  float det = Matrix3f::det( plane1.normal, plane2.normal, plane3.normal ) ;

  // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intn.
  if( det == 0.f ) return 0 ; //could return inf or whatever

  return ( plane2.normal.cross( plane3.normal )*-plane1.d +
           plane3.normal.cross( plane1.normal )*-plane2.d + 
           plane1.normal.cross( plane2.normal )*-plane3.d ) / det ;            
}

доказательство его работы (желтая точка-пересечение плоскостей rgb здесь)

начало строки

как только у вас есть точка пересечения, общая для 2 плоскостей, линия просто идет

P + t * d

где P-точка пересечения, t может идти от (- inf, inf), А d-вектор направления, который перекрестное произведение нормалей двух исходных плоскостей.

линия пересечения между красной и синей плоскостями выглядит так

эффективность и стабильность

"надежный" (2-й способ) занимает 48 элементарных операций по моему счету, против 36 элементарных операций,которые использует 1-й способ (изоляция x, y). Существует компромисс между стабильностью и # вычислениями между этими 2 способами.

Это было бы довольно катастрофично, чтобы получить (0,inf,inf) назад от вызова к 1-му пути в случае, если B₁ было 0, и вы не проверили. Итак, добавление в if операторы и убедитесь, что не делится на 0 на 1-й способ может дать вам стабильность за счет раздувания кода и добавленного ветвления (что может быть довольно дорого). Метод пересечения 3 плоскостей почти не имеет ветвей и не даст вам бесконечностей.

этот метод позволяет избежать деления на ноль, так как две плоскости не параллельны.

если это самолеты:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0
A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0

1) найти вектор, параллельный линии пересечения. Это также Нормаль третьей плоскости, которая перпендикулярна двум другим плоскостям:

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2)

2) образуют систему из 3 уравнений. Они описывают 3 плоскости, которые пересекаются в точке:

A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 = 0
A2*x1 + B2*y1 + C2*z1 + D2 = 0
A3*x1 + B3*y1 + C3*z1 = 0

3) решите их, чтобы найти x1,y1, z1. Это пункт на линия пересечения.

4) параметрические уравнения линии пересечения:

x = x1 + A3 * t
y = y1 + B3 * t
z = z1 + C3 * t

подход на основе детерминантов аккуратен, но трудно понять, почему он работает.

вот еще один способ, который является более интуитивным.

идея состоит в том, чтобы сначала перейти от начала координат к ближайшей точке на первой плоскости (p1), а потом оттуда идти к ближайшей точке на линии пересечения двух плоскостей. (Вдоль вектора, который я называю v ниже.)

Given
=====
 First plane: n1 • r = k1
Second plane: n2 • r = k2

Working
=======
dir = n1 × n2
p1 = (k1 / (n1 • n1)) * n1
v = n1 × dir
pt = LineIntersectPlane(line = (p1, v), plane = (n2, k2))

LineIntersectPlane
==================
#We have n2 • (p1 + lambda * v) = k2
lambda = (k2 - n2 • p1) / (n2 • v)
Return p1 + lambda * v

Output
======
Line where two planes intersect: (pt, dir)

Это должно дать ту же точку, что и подход на основе определителя. Есть почти наверняка связь между ними. По крайней мере знаменатель, n2 • v - то же самое, если мы применяем "смешанное произведение" правило. Таким образом, эти методы, вероятно, аналогичны, что касается чисел условий.

Не забудьте проверить наличие (почти) параллельных плоскостей. Например: if (dir • dir < 1e-8) должно работать хорошо, если используются нормали единицы.

поперечное произведение линии-это направление линии пересечения. Теперь вам нужна точка на перекрестке.

вы можете сделать это, взяв точку на поперечном произведении, а затем вычитая Нормаль плоскости a * расстояние до плоскости A и нормаль плоскости B * расстояние до плоскости b. Уборщик:

p = точка на перекрестном продукте

точка пересечения = ([p] - ([Нормаль плоскости A] * [расстояние от p до плоскости A]) - ([Нормаль плоскости B] * [расстояние от p до плоскость B]))

Edit:

у вас есть два самолета с двумя нормали:

N1 and N2

векторное произведение-это направление линии пересечения:

C = N1 x N2

класс выше имеет функцию для вычисления расстояния между точкой и плоскостью. Используйте его, чтобы получить расстояние от некоторой точки p на C до обеих плоскостей:

p = C //p = 1 times C to get a point on C
d1 = plane1.getDistance(p)
d2 = plane2.getDistance(p)

линия перекресток:

resultPoint1 = (p - (d1 * N1) - (d2 * N2))
resultPoint2 = resultPoint1 + C