Мультипликативный обратный Python в конечном поле GF(2)

эти 2 функции выполняют расширенный евклидов алгоритм, а затем находят мультипликативный обратный. Порядок кажется правильным, но он не возвращается с тем, что я ожидаю в соответствии с этим инструментом от U Сиднея http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/ и поскольку это делается в конечном поле GF(2), я думаю, что мне не хватает ключевого шага, который переводится из базы 10 в это поле.

Это было проверено и работало на базе 10, но с учетом многочленов с двоичным коэффициенты здесь могут быть невозможны. Поэтому мой вопрос заключается в том, какие части Python я неправильно применяю к этому алгоритму, например // floor, которые могут не переносить из того, что функция была способна в базе 10, чтобы иметь возможность сделать это в GF(2).

выше инструмента можно проверить так:

R<x>:=PolynomialRing(GF(2));
p:=x^13+x+1; q:=x^12+x;
g,r,s:=XGCD(p,q);

g eq r*p+s*q;

g,r,s;

функции:

def extendedEuclideanGF2(self,a,b): # extended euclidean. a,b are values 10110011... in integer form
    inita,initb=a,b;  x,prevx=0,1;  y,prevy = 1,0
    while b != 0:
        q = int("{0:b}".format(a//b),2)
        a,b = b,int("{0:b}".format(a%b),2);
        x,prevx = (int("{0:b}".format(prevx-q*x)), int("{0:b}".format(x,2)));  y,prevy=(prevy-q*y, y)
    print("Euclidean  %d * %d + %d * %d = %d" % (inita,prevx,initb,prevy,a))
    return a,prevx,prevy  # returns gcd of (a,b), and factors s and t

def modular_inverse(self,a,mod): # a,mod are integer values of 101010111... form
    a,mod = prepBinary(a,mod)
    bitsa = int("{0:b}".format(a),2); bitsb = int("{0:b}".format(mod),2)
    #return bitsa,bitsb,type(bitsa),type(bitsb),a,mod,type(a),type(mod)
    gcd,s,t = extendedEuclideanGF2(a,mod); s = int("{0:b}".format(s))
    initmi = s%mod; mi = int("{0:b}".format(initmi))
    print ("M Inverse %d * %d mod %d = 1"%(a,initmi,mod))
    if gcd !=1: return mi,False
    return mi   # returns modular inverse of a,mod

Я тестировал с полиномами, как это, но в двоичном виде, конечно:

p = "x**13 + x**1 + x**0" 
q = "x**12 + x**1"
6
finite-field galois-field polynomial-math python python-2.7

1 ответов

функция работала при тестировании с base-10, потому что все ваши преобразования int("{0:b}".format(x)) не влияют на x:

37 == int("{0:b}".format(37), 2)  # >>> True

объекты Number в python являются базовыми-10. Преобразование чисел в двоичные строки, а затем обратно в целые числа, не имеет никакого эффекта. Вот альтернативная версия вашей функции, которая должна работать на a и b as base-10 ints и вернуть их в двоичном формате. Вы можете удалить bin() функция возвращает числа в 10, или использовать что-то вроде lambda x: int("%d".format(x)) преобразование a и b из двоичной в десятичную в первой строке функции. 

def extendedEuclideanGF2(a, b): # extended euclidean. a,b are values 10110011... in         integer form
    inita, initb = a, b   # if a and b are given as base-10 ints
    x, prevx = 0, 1
    y, prevy = 1, 0
    while b != 0:
        q = a//b
        a, b = b, a%b
        x, prevx = prevx - q*x, x
        y, prevy = prevy - q*y, y
    print("Euclidean  %d * %d + %d * %d = %d" % (inita, prevx, initb, prevy, a))
    i2b = lambda n: int("{0:b}".format(n))  # convert decimal number to a binary value in a decimal number
    return i2b(a), i2b(prevx), i2b(prevy)  # returns gcd of (a,b), and factors s and t

все, что сказано, Не используйте lambdas в такой функции - я бы предложил написать вашу программу, чтобы избежать использования двоичного файла вообще, что вы можете сделать, только конвертируя из/в двоичный файл на интерфейсе вашей программы с исходными данными.

3