Обнаружение отрицательных двоичных

Вопрос 1:

" это соглашение отрицательных двоичных чисел, чтобы самый значительный бит указывал знак?"

Существует несколько способов представления отрицательных чисел в двоичной системе. Наиболее распространенным является представление дополнения двух, о котором вы узнаете. В этой системе да, бит высшего порядка будет указывать знак числа (Если 0 сгруппирован с положительными числами).

в стандартном двоичном коде без знака, числа представлены последовательностями битов в позиционной нотации (для краткости я буду использовать только три бита):

b₂b₁b₀ = 2²b₂ + 2¹b₁ + 2⁰b₀ = 4b₂ + 2b₁ + b₀

111₂ = 7₁₀
110₂ = 6₁₀
101₂ = 5₁₀
100₂ = 4₁₀
011₂ = 3₁₀
010₂ = 2₁₀
001₂ = 1₁₀
000₂ = 0₁₀

два-дополнение
Есть несколько способов взглянуть на 2S-дополнение, я думаю, что ответ очевиден во всех из них. Один из способов получить эту систему взять верхнюю половину чисел без знака (которые все имеют высокий бит) и переместить их ниже нуля:

011₂ = 3₁₀
010₂ = 2₁₀
001₂ = 1₁₀
000₂ = 0₁₀
111₂ = -1₁₀
110₂ = -2₁₀
101₂ = -3₁₀
100₂ = -4₁₀

вы можете ясно видеть, что старший бит указывает на знак. Опять же, 0 занимает одно из 4 положительных представлений, что приводит к тому, что диапазон не является симметричным: [3, -4] (хотя иногда наиболее отрицательное значение считается особенным, делая использовать диапазон симметричный). Эквивалентно, мы можем переинтерпретировать бит высшего порядка как отрицательное число:

b₂b₁b₀ = -(2²) b₂ + 2¹b₁ + 2⁰b₀ = -4 b₂ + 2b₁ + б₀

ясно, так как высокий бит имеет больший вес (в смысле абсолютного значения), чем все остальные биты вместе взятые, если он установлен, результат отрицательный. Если он не установлен, все остальные веса положительны и, следовательно, результат.

из этого определения мы можем вывести третью интерпретацию: общеизвестное правило, что -a = ~a + 1 (где - означает арифметическое отрицание, ~ означает побитовое дополнение, и мы игнорируем переполнение):

a + ~a = - 4b₂ + 2b₁ + b₀ + -4 (~b₂) + 2 (~b₁) + ~b₀
a + ~a = -4 (b₂+~b₂) + 2 (b₁+~b₁) + (b₀+~b₀)
a + ~a = -4(1) + 2(1) + (1)
a + ~a = -1
a = - (~a + 1)
- a = ~a + 1

здесь мы видим, что отрицание переворачивает высокой скорости, поэтому он указывает на знак числа. Обратите внимание, что это не строго true, так как добавление с одним может перевернуть высокий бит назад, если все остальные биты установлены. Однако это относится только к 0 и самому отрицательному числу (-4₁₀, или 100₂, в этом случае), оба из которых остаются неизменными при отрицании.

преимущество в использовании 2S-complement заключается в том, что то же самое аппаратное обеспечение может использоваться для подписанного и неподписанного добавления. Это хорошее свойство не относится к другим отрицательным двоичным представлениям, которые использовались в прошлом, некоторые из которых я кратко коснусь. Из-за этого современные процессоры почти всегда используют это представление для целочисленной арифметики (я не знаю каких-либо недавних коммерческих контрпримеров, но они могут быть там). Вот почему вы узнаете об этом (в отличие от Convert binary to denary -> subtract denary -> reconvert into binary): чтобы понять, как операции работают на уровне ворот Алю.

один-дополнить
1S-дополнение тесно связано с 2S-дополнением. Отрицание выполняется путем инвертирования только битов (без добавления 1). Ведущий бит по-прежнему указывает знак, но существуют различные представления для положительного и отрицательного нуля. Я никогда лично не сталкивался с реальным использованием 1S-дополнения, но это представляет исторический интерес.

b₂b₁b₀ = - 3b₂ + 2b₁ + b₀

011₂ = 3₁₀
010₂ = 2₁₀
001₂ = 1₁₀
000₂ = 0₁₀
111₂ = -0₁₀
110₂ = -1₁₀
101₂ = -2₁₀
100₂ = -3₁₀

знак и величина
Знак и величина ближе всего к тому, как люди обычно пишут отрицательные числа. Низкие 2 бита имеют такой же вес как в системах выше и высокий бит не имеет никакой (аддитивный) вес. Вместо этого он только изменяет знак результата. Здесь, очевидно,, ведущий бит указывает на знак. Как и 1S-дополнение, существует два представления 0. Он по-прежнему используется сегодня в мантиссе чисел с плавающей запятой IEEE (хотя показатель находится между знаком и величиной).

b₂b₁b₀ = (-1)^b₂(2b₁ + b₀)

0 11 ₂ = + 3 ₁₀
0 10 ₂ = + 2 ₁₀
0 01 ₂ = + 1 ₁₀
0 00 ₂ = + 0 ₁₀
1 00 ₂ = - 0 ₁₀
1 01 ₂ = - 1 ₁₀
1 10 ₂ = - 2 ₁₀
1 11 ₂ = - 3 ₁₀

избыток-n
Excess-n действительно больше похоже на семейство систем. Все значения сдвигаются вверх на n (известный как смещение), а затем представлен как в случае без знака. Ведущий бит мая укажите знак, если выбрано правое смещение, хотя и с другой полярностью, чем вышеупомянутые системы (и 0 может быть сгруппирован либо с негативами, либо с позитивами). Это все еще используется в показатель числа с плавающей запятой IEEE. При n = 3 высокий бит указывает на знак, а 0 группируется с отрицательными числами:

b₂b₁b₀ = 4b₂ + 2b₁ + b₀ - n

111₂ = 4₁₀
110₂ = 3₁₀
101₂ = 2₁₀
100₂ = 1₁₀
011₂ = 0₁₀
010₂ = -1₁₀
001₂ = -2₁₀
000₂ = -3₁₀

другие
Есть еще другие, более эзотерические целочисленные представления, такие как balanced-ternary, base-negative-2 или (возможно) двоично - десятичный код (или BCD для краткости). Причина, по которой я говорю, что BCD спорен, заключается в том, что современные процессоры часто все еще поддерживают его (Хотя это не то, как числа представлены внутри), и многие калькуляторы использовали его. В этих системах ведущий бит (или trit, или цифра base-n) может указывать или не указывать знак (или может указывать его в некоторых случаях, но не в других).

Вопрос 2:

" как конечный пользователь определяет разницу между 11101100 быть 236 и -20?"

в общем, нет способа узнать, действительно ли число, хранящееся в регистре или памяти, должно быть 2S-дополнением или без знака, как указывали другие. Вы по существу должны отслеживать, что с ним сделано, чтобы определить это.

однако, если число является немедленным значением, хранящимся непосредственно в инструкции машинного кода, код операции может указывать, подписан ли он (в зависимости от архитектуры). Май этого года изменить, например, как переполнение обрабатываются, или Ли или нет признак-расширение выполняется.

например, могут быть отдельные инструкции "загрузить немедленно" и "загрузить подписанный немедленно", которые копируют значение немедленного значения в больший регистр, второй делает знак-расширение и Первый нет. Инструкции "ветви" часто имеют подписанный немедленный, чтобы указать размер прыжка (так что как вперед, так и назад ветви могут использовать один инструкция.) Могут быть разные инструкции "добавить немедленное" и "добавить неподписанное немедленное", которые устанавливают флаги переполнения соответствующим образом для типа добавления.

расширение знака
Расширение знака означает копирование высокого бита для сохранения значения номера дополнения 2s. Это приведет к неправильным результатам для половины неподписанных чисел.

расширение знака не выполняется:

100₂ = 00000100₂
Без подписи: 4₁₀ = 4₁₀
Подпись: -4₁₀ = 4₁₀

расширение знака, выполненного:

100₂ = 11111100₂
Подпись: -4₁₀ = -4₁₀
Без подписи: 4₁₀ = 252₁₀

001₂ = 00000001₂
Подписано и без подписи: 1₁₀ = 1₁₀

переполнения
Добавление или вычитание двух чисел может дать результат, который слишком велик (в абсолютном смысле), чтобы быть правильно представлен. Добавление тех же двух двоичных последовательностей может вызвать переполнение для подписанных чисел, но не без знака (или наоборот).

Signed переполняет, но unsigned не делает:

011₂ + 011₂ = 110₂
Подписано: 3₁₀+3₁₀ = -2₁₀
Без подписи: 3₁₀+3₁₀ = 6₁₀

неподписанный переполняет, но подписанный не делает:

111₂ + 010₂ = 001₂
Без подписи: 7₁₀ + 2₁₀ = 1₁₀
Подпись: -1₁₀ + 2₁₀ = 1₁₀