определить, находится ли точка внутри треугольника

программа должна считывать значения трех координат

  • P1 (x1,y1)
  • P2 (x2,y2)
  • P3 (x3,y3)

а также другую координату P (x,y) и определить, находится ли эта точка внутри треугольника, образованного из 3 точки выше.

37
hint logic math

3 ответов

правильный способ сделать это путем расчета барицентрическими координатами четвертой точки, учитывая три точки вашего треугольника. Формула для их вычисления приведена в конце раздела "преобразование в барицентрические координаты", но я надеюсь дать здесь менее математическое объяснение.

предположим для простоты, что у вас есть структура, point, которое имеет значения x и y. Вы определили свои точки as:

point p1(x1, y1);
point p2(x2, y2);
point p3(x3, y3);

point p(x,y); // <-- You are checking if this point lies in the triangle.

теперь, барицентрическими координатами, как правило, называют alpha, beta и gamma, рассчитываются следующим образом:

float alpha = ((p2.y - p3.y)*(p.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p.y - p3.y)) /
        ((p2.y - p3.y)*(p1.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p1.y - p3.y));
float beta = ((p3.y - p1.y)*(p.x - p3.x) + (p1.x - p3.x)*(p.y - p3.y)) /
       ((p2.y - p3.y)*(p1.x - p3.x) + (p3.x - p2.x)*(p1.y - p3.y));
float gamma = 1.0f - alpha - beta;

если все alpha, beta и gamma больше 0, то p лежит в треугольнике из точек p1, p2 и p3.

объяснение этого заключается в том, что точка внутри треугольника может быть описана с помощью точек треугольника, а три коэффициентов (по одному для каждой точки в диапазоне [0,1]):

p = (alpha)*p1 + (beta)*p2 + (gamma)*p3

перестановка этой функции дает вам формулу для вычисления барицентрических координат, но я чувствую, что шаги для этого могут быть за пределами вопроса. Они представлены на странице Википедии, которую я связал сверху.

из этого следует, что каждый коэффициент должен быть больше 0 для точки p лежать в пределах области, описанной тремя точками.

53

вместо P1, P2 и P3 предположим, что точки A, B и C.

          A(10,30)
            / \
           /   \
          /     \
         /   P   \      P'
        /         \
B (0,0) ----------- C(20,0)
: 
1) Calculate area of the given triangle, i.e., area of the triangle ABC in the above diagram. 

    Area A = [ x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1-y2)]/2

2) Calculate area of the triangle PAB. We can use the same formula for this. Let this area be A1.
3) Calculate area of the triangle PBC. Let this area be A2.
4) Calculate area of the triangle PAC. Let this area be A3.
5) If P lies inside the triangle, then A1 + A2 + A3 must be equal to A.

Ниже приведена программа на языке C:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/* A utility function to calculate area of triangle formed by (x1, y1), 
   (x2, y2) and (x3, y3) */
float area(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3)
{
   return abs((x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1)+ x3*(y1-y2))/2.0);
}

/* A function to check whether point P(x, y) lies inside the triangle formed 
   by A(x1, y1), B(x2, y2) and C(x3, y3) */
bool isInside(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, int x, int y)
{   
   /* Calculate area of triangle ABC */
   float A = area (x1, y1, x2, y2, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PBC */  
   float A1 = area (x, y, x2, y2, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PAC */  
   float A2 = area (x1, y1, x, y, x3, y3);

   /* Calculate area of triangle PAB */   
   float A3 = area (x1, y1, x2, y2, x, y);

   /* Check if sum of A1, A2 and A3 is same as A */
   return (A == A1 + A2 + A3);
}

/* Driver program to test above function */
int main()
{
   /* Let us check whether the point P(10, 15) lies inside the triangle 
      formed by A(0, 0), B(20, 0) and C(10, 30) */
   if (isInside(0, 0, 20, 0, 10, 30, 10, 15))
     printf ("Inside");
   else
     printf ("Not Inside");

   return 0;
}

время : O (1)

площадь: O (1)

13

возьмите среднее из трех заданных точек. Эта новая точка P4 всегда будет лежать внутри треугольника.

теперь проверьте, лежат ли P и P4 на одной стороне каждой из трех строк P1P2 P2P3 и P3P1. Вы можете сделать это, проверив знаки перекрестных продуктов (P -> P1) x (P -> P2) и (P4 -> P1) x (P4 -> P2) (где P->P1-вектор от P до P1), а затем две другие пары.

5