Почему комплексное сопряжение транспонирует значение по умолчанию в Matlab

если матрица имеет сложный элемент и я хочу транспонировать с помощью команды >>A' Почему это дизайн, что a+bi преобразуется в a-bi ? Для чего он используется?

6
complex-numbers matlab matrix transpose

2 ответов

С здесь:

для комплексных матриц почти всегда имеет место, что комбинированные операция взятия транспозиции и комплексного конъюгата возникает в физические или вычислительные контексты и практически никогда не транспонируются в изоляция ( Странг 1988, PP. 220-221).

в matlab, если вы хотите транспонировать без сопряженного использования .'.

5

на самом деле я бы сказал, что есть глубокие причины, почему транспонирование является сопряженным. Рассмотрим матричное представление комплексных чисел. Пусть

I = (1 0)          J = (0 -1)
    (0 1)              (1  0)

и обратите внимание, что транспонирование J (J^T) просто равен-J. Тогда мы имеем эту эквивалентность (используя j для обозначения мнимой единицы):

 x + yj   <--->  xI + yJ
(x + yj)* <--->  xI - yJ = (xI + yJ)^T

таким образом, сопряжение комплексного числа было той же операцией, что и транспонирование его матричного представления. Что произойдет, если у нас есть nxn матрица комплексных чисел? Почему тогда мы можем просто представить его как 2nx2n матрица вещественных чисел, где каждая подматрица 2x2 имеет вид xI + yJ! Оказывается, если вы сделаете так, что Эрмитовый (сопряженный) транспонирует nxn комплексная матрица просто эквивалентна обычной транспозиции в 2nx2n настоящая форма. На самом деле я пойду дальше и утверждаю (без доказательств), что любой вектор или матрица над комплексными числами имеет изоморфизм в векторах / матрицах над реалами (последний имеет двойной размерность), и эта сопряженная транспозиция в комплексной версии идентична транспозиции в реальной версии.

имея это в виду, я бы сказал, что "обычная транспонирование" матрицы над комплексными числами на самом деле очень странная вещь. Неудивительно, что мы не находим этого в естественных законах!

если хотите,естественное представление - это 2nx2n настоящая форма. Так уж получилось, что по историческим причинам мы развивались алгебраическая форма, используя символы j или i во-первых, и изобрел идею спряжения, которая на самом деле является лишь частным случаем транспонирования.

следовательно-когда вы транспонируете матрицу над комплексными числами, Matlab услужливо завершает работу, сопрягая элементы для вас.

если вы хотите узнать больше, можно почитать о теории представлений. Википедия-хорошее начало, хотя я нахожу их статью немного технической: https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory

1