Поиск подмножества чисел, которое даст вам максимальную сумму

Как найти подмножество чисел от 2 до 1000, которое даст вам максимальную сумму при условии, что любые два числа из подмножества не разделяют общие простые коэффициенты (например, 1000 и 500 разделяют простой фактор 2)?

один (возможно, более простой) вариант вышеуказанного вопроса: какое наибольшее число в подмножестве? Мы знаем, что 997 является простым числом, и легко исключить 1000 и 998, поэтому возникает вопрос, Является ли 999 в подмножестве?

7
combinatorics math max primes subset-sum

2 ответов

создайте граф с узлами {2, ..., 1000} и ребра, когда узлы имеют gcd > 1. Решение этой проблемы такое же, как и поиск проблема независимого набора максимального веса, что NP-трудно, за исключением некоторых особых случаев. Этот случай графика не похож на пространственный случай из списка на странице Википедии или даже на этом список.

обновление

как предположил Джеймс, можно уменьшить количество узлов в этом графике. Допустим эта подпись числа N с простым разложением p1^k1*...*pn^kn - кортеж (p1, ..., pn).

первое сокращение-удалить узлы, когда есть узлы с большим значением и той же сигнатурой. Это уменьшает график до 607 узлов.

следующее сокращение-удалить узел N с подписью (p1, ..., pn) если есть узлы с сигнатурами, то это разложение (p1, ..., pn) и сумма >= N. Что снижает графа узлов 277.

из этих узлов 73 изолированных узлов (праймы > 500.)

4

Я не знаю ответа на этот вопрос, он кажется мне нетривиальным. Вот несколько мыслей.

сумма состоит из переменного числа слагаемых, скажем0 + s1 + ... sk, где sЯ - целое число в интервале [2, 1000]. Теперь каждого sЯ имеет факторизацию первичной мощности sЯ=(p1e1)*(p2e2) ... где еЯ ≥ 1.

условие, что "любые два числа из подмножества не имеют общих простых факторов" эквивалентно утверждению, что sЯ попарно относительно простые, т. е. gcd(sЯ, sj)=1 для i ≠ j. Также эквивалентно, когда одно слагаемое sЯ содержит простое p, что означает, что никакое другое слагаемое не может содержать это простое число.

Итак, как вы расположите числа в слагаемых? Одно простое правило сразу бросается в глаза. Все простые числа в [500, 1000] могут появляться только в сумме как отдельные слагаемые. Если они умножаются на что-либо еще, даже на наименьшее простое 2, произведение будет слишком большим. Таким образом, остается задача организации меньших простых чисел. И я не знаю, как это сделать. Для полноты я предоставлю следующую короткую программу python, которая показывает один из способов.

def sieve_prime_set(n):
    # sieve[i] = set(p1, p2, ...pn) for each prime p_i that divides i.

    sieve = [set() for i in range(n + 1)]
    primes = []
    next_prime = 1
    while True:
        # find the next prime
        for i in range(next_prime + 1, len(sieve)):
            if not sieve[i]:
                next_prime = i
                break
        else:
            break

        primes.append(next_prime)
        # sieve out by this prime
        for kp in range(next_prime, n + 1, next_prime):
            sieve[kp].add(next_prime)

    return sieve, primes

def max_sum_strategy1(sieve):
    last = len(sieve) - 1
    summands = [last]
    max_sum = last
    prime_set = sieve[last]
    while last >= 2:
        last -= 1
        if not sieve[last] & prime_set:
            max_sum += last
            prime_set |= sieve[last]
            summands.append(last)

    return max_sum, summands, prime_set

def max_sum_strategy2(primes, n):
    return sum(p ** int(log(n, p)) for p in primes)



if __name__ == '__main__':
    sieve, primes = sieve_prime_set(1000)
    max_sum, _, _ = max_sum_strategy1(sieve)
    print(max_sum)
    print(max_sum_strategy2(primes, 1000))

выход

84972
81447

показывая, что "Стратегия 1" превосходный.

улучшенный, но не обязательно оптимальный. Например, включение 1000 кажется хорошим, но это заставляет нас исключать каждое другое четное слагаемое и каждое слагаемое, делимое на 5. Если мы оставим 1000, но вместо этого включим 998, мы сможем использовать другое слагаемое, которое включает 5 в его простую факторизацию. Но включение 998 заставляет исключить другие слагаемые. Таким образом, максимизация суммы не является тривиальной.

2