Поиск точек пересечения двух эллипсов (Python)

Я пишу базовую библиотеку 2D-форм в Python (в первую очередь для манипулирования чертежами SVG), и я в недоумении, как эффективно вычислить точки пересечения двух эллипсов.

каждый эллипс определяется следующими переменными (все поплавки):

c: center point (x, y)
hradius: "horizontal" radius
vradius: "vertical" radius
phi: rotation from coordinate system's x-axis to ellipse's horizontal axis

игнорирование, когда эллипсы идентичны, может быть от 0 до 4 точек пересечения (без пересечения, касательной, частично перекрывающейся, частично перекрывающейся и внутренне касательной и полностью перекрытие.)

Я нашел несколько возможных решений:

  • модуль геометрии SymPy - это в основном просто подключает уравнения эллипса к решателю Симпи. Я не уверен, что это имеет смысл, не имея уже решателя. (Кстати, я бы использовал SymPy вместо того, чтобы катить свой собственный, но он ужасно работает, когда имеет дело с сумасшедшими поплавками)
  • как определить, пересекается ли эллипс (сталкивается с) a круг - это, вероятно, может быть адаптировано для двух эллипсов, но я немного нечетко понимаю, как превратить его в разумный код.
  • как эллипс к пересечению эллипса? - библиотека ссылок на ответы (CADEMIA) может иметь хороший алгоритм, но я даже не могу понять, является ли он открытым исходным кодом.
  • Википедия: Пересечение Двух Коник - у меня недостаточно понимания линейной алгебры, чтобы понять это решение.

любые предложения о том, как я должен идти о расчете пересечений? Скорость (возможно, придется рассчитать много пересечений) и элегантность являются основными критериями. Код был бы фантастическим,но даже хорошее направление было бы полезно.

3 ответов


в математике вам нужно выразить эллипсы как двумерные квадратичные уравнения и решить их. Я нашел doucument. Все вычисления находятся в документе, но для его реализации в Python может потребоваться некоторое время.

таким образом, другой метод-аппроксимировать эллипсы как полилинии и использовать shapely для поиска пересечений, вот код:

import numpy as np
from shapely.geometry.polygon import LinearRing

def ellipse_polyline(ellipses, n=100):
    t = linspace(0, 2*np.pi, n, endpoint=False)
    st = np.sin(t)
    ct = np.cos(t)
    result = []
    for x0, y0, a, b, angle in ellipses:
        angle = np.deg2rad(angle)
        sa = np.sin(angle)
        ca = np.cos(angle)
        p = np.empty((n, 2))
        p[:, 0] = x0 + a * ca * ct - b * sa * st
        p[:, 1] = y0 + a * sa * ct + b * ca * st
        result.append(p)
    return result

def intersections(a, b):
    ea = LinearRing(a)
    eb = LinearRing(b)
    mp = ea.intersection(eb)

    x = [p.x for p in mp]
    y = [p.y for p in mp]
    return x, y

ellipses = [(1, 1, 2, 1, 45), (2, 0.5, 5, 1.5, -30)]
a, b = ellipse_polyline(ellipses)
x, y = intersections(a, b)
plot(x, y, "o")
plot(a[:,0], a[:,1])
plot(b[:,0], b[:,1])

и выход:

enter image description here

на моем ПК требуется около 1,5 МС.


смотрим sympy Я думаю, что в нем есть все, что вам нужно. (Я попытался предоставить вам примеры кодов; к сожалению, мне не удалось установить sympy с gmpy2 вместо бесполезной встроенной математики python)

у вас есть :

из их примеров я думаю, что определенно можно пересечь два эллипса:

>>> from sympy import Ellipse, Point, Line, sqrt
>>> e = Ellipse(Point(0, 0), 5, 7)
...
>>> e.intersection(Ellipse(Point(1, 0), 4, 3))
[Point(0, -3*sqrt(15)/4), Point(0, 3*sqrt(15)/4)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(5, 0), 4, 3))
[Point(2, -3*sqrt(7)/4), Point(2, 3*sqrt(7)/4)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(100500, 0), 4, 3))
[]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(0, 0), 3, 4))
[Point(-363/175, -48*sqrt(111)/175), Point(-363/175, 48*sqrt(111)/175),
Point(3, 0)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(-1, 0), 3, 4))
[Point(-17/5, -12/5), Point(-17/5, 12/5), Point(7/5, -12/5),
Point(7/5, 12/5)] 

edit: поскольку общий эллипс (ax^2 + bx + cy^2 + dy + exy + f) не поддерживается в sympy,

вы должны построить уравнения и преобразовать их самостоятельно и использовать их решатель для поиска точек пересечения.


вы можете использовать метод, показанный здесь: https://math.stackexchange.com/questions/864070/how-to-determine-if-two-ellipse-have-at-least-one-intersection-point/864186#864186

сначала вы должны иметь возможность масштабировать эллипс в одном направлении. Для этого необходимо вычислить коэффициенты эллипса в виде конического сечения, масштабировать, а затем восстановить новые геометрические параметры эллипса: центр, оси, угол.

тогда ваша задача сводится к найти расстояние от эллипса до начала координат. Чтобы решить эту последнюю проблему, вам нужна некоторая итерация. Вот возможная самостоятельная реализация...

from math import *

def bisect(f,t_0,t_1,err=0.0001,max_iter=100):
    iter = 0
    ft_0 = f(t_0)
    ft_1 = f(t_1)
    assert ft_0*ft_1 <= 0.0
    while True:
        t = 0.5*(t_0+t_1)
        ft = f(t)
        if iter>=max_iter or ft<err:
            return t
        if ft * ft_0 <= 0.0:
            t_1 = t
            ft_1 = ft
        else:
            t_0 = t
            ft_0 = ft
        iter += 1

class Ellipse(object):
    def __init__(self,center,radius,angle=0.0):
        assert len(center) == 2
        assert len(radius) == 2
        self.center = center
        self.radius = radius
        self.angle = angle

    def distance_from_origin(self):
        """                                                                           
        Ellipse equation:                                                             
        (x-center_x)^2/radius_x^2 + (y-center_y)^2/radius_y^2 = 1                     
        x = center_x + radius_x * cos(t)                                              
        y = center_y + radius_y * sin(t)                                              
        """
        center = self.center
        radius = self.radius

        # rotate ellipse of -angle to become axis aligned                             

        c,s = cos(self.angle),sin(self.angle)
        center = (c * center[0] + s * center[1],
                  -s* center[0] + c * center[1])

        f = lambda t: (radius[1]*(center[1] + radius[1]*sin(t))*cos(t) -
                       radius[0]*(center[0] + radius[0]*cos(t))*sin(t))

        if center[0] > 0.0:
            if center[1] > 0.0:
                t_0, t_1 = -pi, -pi/2
            else:
                t_0, t_1 = pi/2, pi
        else:
            if center[1] > 0.0:
                t_0, t_1 = -pi/2, 0
            else:
                t_0, t_1 = 0, pi/2

        t = bisect(f,t_0,t_1)
        x = center[0] + radius[0]*cos(t)
        y = center[1] + radius[1]*sin(t)
        return sqrt(x**2 + y**2)

print Ellipse((1.0,-1.0),(2.0,0.5)).distance_from_origin()