Получение непрерывных дробей для квадратных корней

корень проблемы в том, что вы не можете точно представлять квадратный корень не квадратный, как число с плавающей точкой.

если ξ - это точное значение и x приближение (которое должно быть все еще довольно хорошим, так что в частности floor(ξ) = a = floor(x) все еще держится), то разница после следующего шага алгоритма непрерывной дроби составляет

ξ' - x' = 1/(ξ - a) - 1/(x - a) = (x - ξ) / ((ξ - a)*(x - a)) ≈ (x - ξ) / (ξ - a)^2

таким образом, мы видим, что на каждом шаге абсолютное значение разности между приближением и реальное значение увеличивается, так как 0 < ξ - a < 1. Каждый раз, когда происходит большой частичный фактор (ξ - a близко к 0), разница увеличивается на большой коэффициент. Как только (абсолютное значение) разность равна 1 или больше, следующий вычисленный частичный фактор гарантированно будет неправильным, но очень вероятно, что первый неправильный частичный фактор произойдет раньше.

Чарльз указано приближение, которое с оригинальным приближением с n исправить цифры, вы можете вычислить о n частичные коэффициенты непрерывной дроби. Это хорошее эмпирическое правило, но, как мы видели, любые большие частичные коэффициенты стоят больше точности и, таким образом, уменьшают число достижимых частичных коэффициентов, и иногда вы получаете неправильные частичные коэффициенты намного раньше.

случае √139 является одним с относительно длинным периодом с парой больших частичных частных, поэтому неудивительно, что первый неправильно вычисленный частичный фактор появляется до завершения периода (я довольно удивлен, что это не происходит раньше).

используя арифметику с плавающей запятой, нет никакого способа предотвратить это.

но для случая квадратичных сурдов мы можем избежать этой проблемы, используя только целочисленную арифметику. Скажем, вы хотите вычислить продолжение расширения фракции

ξ = (√D + P) / Q

здесь Q делит D - P² и D > 1 не является идеальным квадратом (если условие делимости не удовлетворенный, вы можете заменить D С D*Q², P С P*Q и Q С Q²; ваш случай P = 0, Q = 1, где он чрезвычайно доволен). Напишите полные коэффициенты как

ξ_k = (√D + P_k) / Q_k (with ξ_0 = ξ, P_0 = P, Q_0 = Q)

и обозначим частичные коэффициенты a_k. Тогда

ξ_k - a_k = (√D - (a_k*Q_k - P_k)) / Q_k

и с P_{k+1} = a_k*Q_k - P_k,

ξ_{k+1} = 1/(ξ_k - a_k) = Q_k / (√D - P_{k+1}) = (√D + P_{k+1}) / [(D - P_{k+1}^2) / Q_k],

так Q_{k+1} = (D - P_{k+1}^2) / Q_k С P_{k+1}^2 - P_k^2 несколько Q_k, по индукции Q_{k+1} является целым числом и Q_{k+1} делит D - P_{k+1}^2.

продолжение дробного расширения действительного числа ξ периодическая, если и только если ξ является квадратичным surd, и период завершается, когда в приведенном выше алгоритме первая пара (P_k, Q_k) повторяется. Случай чистых квадратных корней особенно прост, период завершен, когда first Q_k = 1 на k > 0 и P_k, Q_k всегда неотрицательны.

с R = floor(√D) частичные коэффициенты могут быть вычислены as

a_k = floor((R + P_k) / Q_k)

таким образом, код для вышеуказанного алгоритма становится

std::vector<unsigned long> sqrtCF(unsigned long D) {
    // sqrt(D) may be slightly off for large D.
    // If large D are expected, a correction for R is needed.
    unsigned long R = floor(sqrt(D));
    std::vector<unsigned long> f;
    f.push_back(R);
    if (R*R == D) {
        // Oops, a square
        return f;
    }
    unsigned long a = R, P = 0, Q = 1;
    do {
        P = a*Q - P;
        Q = (D - P*P)/Q;
        a = (R + P)/Q;
        f.push_back(a);
    }while(Q != 1);
    return f;
}

который легко вычисляет постоянную часть (например,) √7981 С длиной периода 182.