Программа Кубического Сплайна

я написал кубический пакет сплайнов в Mathematica давным-давно. Вот мой перевод этого пакета в MATLAB. Обратите внимание, что я не смотрел кубические сплайны около 7 лет, поэтому я основываю это на своей собственной документации. Ты должен проверять все, что я говорю.

основная проблема в том, что нам дают n точек данных (x(1), y(1)) , ... , (x(n), y(n)) и мы хотим вычислить кусочно-кубический интерполятор. Интерполятор определяется как

   S(x) = {  Sk(x)   when x(k) <= x <= x(k+1)
          {  0       otherwise 

здесь Sk (x) - кубический многочлен форма

  Sk(x) = sk0 + sk1*(x-x(k)) + sk2*(x-x(k))^2 + sk3*(x-x(k))^3

свойства сплайна:

1. сплайн проходит через точку данных Sk(x(k)) = y(k)
2. сплайн непрерывен в конечных точках и, следовательно, непрерывен везде в интервале интерполяции Sk(x(k+1)) = Sk+1(x(k+1))
3. сплайн имеет непрерывную первую производную Sk'(x(k+1)) = Sk+1'(x(k+1))
4. сплайн имеет непрерывную вторую производную Sk''(x(k+1)) = Sk+1''(x(k+1))

построить кубический сплайн из набора данные точки нам нужно решить для коэффициентов sk0, sk1, sk2 и sk3 для каждого n-1 кубических полиномов. Это в общей сложности 4*(n-1) = 4*n - 4 неизвестными. Собственность 1 поставки n ограничения и свойства 2,3,4 каждый поставляют дополнительный n-2 ограничения. Таким образом, мы имеем n + 3*(n-2) = 4*n - 6 ограничения и 4*n - 4 неизвестными. Это оставляет две степени свободы. Мы фиксируем эти степени свободы, устанавливая вторую производную равной нулю в начале и конце узлы.

пусть m(k) = Sk''(x(k)) , h(k) = x(k+1) - x(k) и d(k) = (y(k+1) - y(k))/h(k). Следующий трехчленное рекуррентное отношение имеет

  h(k-1)*m(k-1) + 2*(h(k-1) + h(k))*m(k) + h(k)*m(k+1) = 6*(d(k) - d(k-1))

m (k) - неизвестные, для которых мы хотим решить. The h(k) и d(k) определяются входными данными. Это трехчленное рекуррентное отношение определяет трехдиагональную линейную систему. После того, как m(k) определяются коэффициенты для Sk дают

   sk0 = y(k)
   sk1 = d(k) - h(k)*(2*m(k) + m(k-1))/6
   sk2 = m(k)/2
   sk3 = m(k+1) - m(k)/(6*h(k))

хорошо, это все, что вам нужно знать, чтобы полностью определить алгоритм вычисления кубического сплайна. Вот он в Matlab:

function [s0,s1,s2,s3]=cubic_spline(x,y)

if any(size(x) ~= size(y)) || size(x,2) ~= 1
   error('inputs x and y must be column vectors of equal length');
end

n = length(x)

h = x(2:n) - x(1:n-1);
d = (y(2:n) - y(1:n-1))./h;

lower = h(1:end-1);
main  = 2*(h(1:end-1) + h(2:end));
upper = h(2:end);

T = spdiags([lower main upper], [-1 0 1], n-2, n-2);
rhs = 6*(d(2:end)-d(1:end-1));

m = T\rhs;

% Use natural boundary conditions where second derivative
% is zero at the endpoints

m = [ 0; m; 0];

s0 = y;
s1 = d - h.*(2*m(1:end-1) + m(2:end))/6;
s2 = m/2;
s3 =(m(2:end)-m(1:end-1))./(6*h);

вот код для построения кубического сплайна:

function plot_cubic_spline(x,s0,s1,s2,s3)

n = length(x);

inner_points = 20;

for i=1:n-1
   xx = linspace(x(i),x(i+1),inner_points);
   xi = repmat(x(i),1,inner_points);
   yy = s0(i) + s1(i)*(xx-xi) + ... 
     s2(i)*(xx-xi).^2 + s3(i)*(xx - xi).^3;
   plot(xx,yy,'b')
   plot(x(i),0,'r');
end

вот функция, которая строит кубический сплайн и строит графики в знаменитой функции Рунге:

function cubic_driver(num_points)

runge = @(x) 1./(1+ 25*x.^2);

x = linspace(-1,1,num_points);
y = runge(x);

[s0,s1,s2,s3] = cubic_spline(x',y');

plot_points = 1000;
xx = linspace(-1,1,plot_points);
yy = runge(xx);

plot(xx,yy,'g');
hold on;
plot_cubic_spline(x,s0,s1,s2,s3);

вы можете увидеть его в действии, выполнив следующее в командной строке Matlab

 >> cubic_driver(5)
 >> clf 
 >> cubic_driver(10)
 >> clf
 >> cubic_driver(20)

к тому времени, когда у вас есть двадцать узлов, ваш интерполятор визуально неотличим от функции Рунге.

некоторые комментарии к коду Matlab: я не использую никаких циклов for или while. Я могу векторизовать все операции. Я быстро формирую разреженную трехдиагональную матрицу с spdiags. Я решаю его с помощью оператора обратной косой черты. Я рассчитываю на UMFPACK Тима Дэвиса для обработки декомпозиции и вперед и назад решает.

надеюсь, это поможет. Код доступен как gist на githubhttps://gist.github.com/1269709