Вывод списка простых чисел в кратчайшие сроки

хорошая вещь в вашем тесте на примитивность заключается в том, что вы делите только на простые числа.

private static boolean checkMod( int num) {
    for (int i : primes){
        if( num % i == 0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

плохо то, что вы делите на все простые числа найдены до сих пор, то есть все простые числа меньше кандидата. Это означает, что для самого большого простого числа ниже миллиона, 999983, вы делите на 78497 простых чисел, чтобы узнать, что это число является простым. Это большая работа. Так много, на самом деле, что работа, потраченная на простые числа в этом алгоритме, составляет около 99,9% всей работы при переходе на миллион, большая часть для более высоких пределов. И этот алгоритм почти квадратичен, чтобы найти простые числа до n таким образом, вам нужно выполнить около

n² / (2*(log n)²)

подразделения.

простое улучшение на остановку раньше отдел. Пусть n быть составным числом (т. е. числом greter чем 1, которое имеет делители, отличные от 1 и n), и пусть d делитель n.

теперь d будучи делитель n значит, что n/d является целым числом, а также делителем n: n/(n/d) = d. Таким образом, мы можем естественно сгруппировать делители n на пары, каждый делитель d порождает пары (d, n/d).

для такой пары, есть две возможности:

1. d = n/d, что означает n = d² или d = √n.
2. они разные, тогда один из них меньше другого, скажем d < n/d. Но это сразу же переводится как d² < n или d < √n.

так или иначе, каждая пара делителей содержит (по крайней мере) один, не превышающий √n, следовательно, если n является составным числом, его наименьший делитель (кроме 1) не превышает √n.

таким образом, мы можем остановить судебный отдел, когда мы достигли √n:

private static boolean checkMod( int num) {
    for (int i : primes){
        if (i*i > n){
            // We have not found a divisor less than √n, so it's a prime
            return true;
        }
        if( num % i == 0){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Примечание: это зависит от списка простых чисел, которые повторяются в порядке возрастания. Если это не гарантируется языком, вы должны использовать другой метод, итерация по индексу через ArrayList или что-то в этом роде.

остановив пробное деление в квадратном корне кандидата, для самого большого простого числа ниже миллиона, 999983, нам теперь нужно только разделить его на 168 простых чисел ниже 1000. Это намного меньше работы, чем раньше. Остановка пробного деления в квадратном корне и деление только на простые числа-это все, что может получить пробное деление и требует около

2*n^1.5 / (3*(log n)²)

подразделения, для n = 1000000, это коэффициент около 750, неплохо, не так ли?

но это все еще не очень эффективно, наиболее эффективные методы для поиска всех простых чисел ниже n сит. Простой в реализации является классическим решето Эратосфена. Что находит простые числа ниже n в o (n*log log n) операциях, с некоторыми улучшениями(устраняя кратные нескольких малых простых чисел из рассмотрения заранее), его сложность может быть уменьшена до o (n) операций. Относительно новое сито с лучшим асимптотическим поведением является решето Аткина, который находит простые числа n в o(n) операциях или с улучшением устранения кратных некоторых малых простых чисел в o (n/log log n) операциях. Сито Аткина сложнее в реализации, поэтому вполне вероятно, что хорошая реализация сита Эратосфена выполняет лучше, чем наивная реализация сита Аткина. Для реализаций подобных уровней оптимизации производительность разница небольшая, если предел не станет большим (больше 10¹⁰; и это не редкость, что на практике сито Эратосфена масштабируется лучше, чем сито Аткина за пределами этого, из-за лучших шаблонов доступа к памяти). Поэтому я бы рекомендовал начать с сита Эратосфена, и только когда его производительность неудовлетворительна, несмотря на честные усилия по оптимизации, углубиться в сито Аткина. Или, если вы не хотите реализовать себя, найти хорошую реализацию кто-то уже серьезно настроился.

я пошел в немного более подробно ответ с немного другой настройкой, где проблема заключалась в поиске n-го простого числа. Некоторые реализации более или менее эффективных методов связаны с этим ответом, в частности одна или две полезные (хотя и не очень оптимизированные) реализации сита Эратосфена.