Как работает это приближение деления с использованием операций битового сдвига?

на java.util.DualPivotQuicksort, появляется следующая строка кода:

// Inexpensive approximation of length / 7
int seventh = (length >> 3) + (length >> 6) + 1;

переменная length это int больше или равно 47.

Я знаком с тем, как работает подписанный оператор правой смены. Но я не знаю, почему эти конкретные операции приводят к приближению деления на 7. Кто-нибудь может объяснить?

6
bit-manipulation bit-shift java math

4 ответов

>> является bitshift. Каждый бит, который вы сдвигаете вправо, фактически делит число 2.

таким образом, (length >> 3) is length/8 (округляется вниз), и (length >> 6) is length/64.

взять (length/8)+(length/64) примерно length*(1/8+1/64) = length*0.140625 (приблизительно)

1/7 = 0.142857...

на +1 в конце можно разделить на +0.5 для каждого термина, так что length/8 округляется до ближайшего (вместо вниз), и length/64 также округляется до ближайший.

в общем, вы можете легко приблизительные 1/y, где y = 2^n+-1 с аналогичным приближением битового сдвига.

бесконечный геометрический ряд:

1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)

умножение на x:

x + x^2 + x^3 + ... = x/(1 - x)

и заменить x = 1/2^n

1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / (1 - 1/2^n)
1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = (1/2^n) / ((2^n - 1)/2^n)

1/2^n + 1/2^2n + 1/2^3n + ... = 1 / (2^n - 1)

это приближает y = 2^n - 1.

для приблизительного y = 2^n + 1 заменить .

- 1/2^n + 1/2^2n - 1/2^3n + ... = (-1/2^n) / (1 + 1/2^n)
1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = (1/2^n) / ((2^n + 1)/2^n)

1/2^n - 1/2^2n + 1/2^3n - ... = 1 / (2^n + 1)

тогда просто усечь бесконечное серия с требуемой точностью.

8

Set x = 1/8 в известном равенстве 

1 + x + x^2 + x^3 + ... = 1 / (1 - x)

и упростить, чтобы дать 

1/8 + 1/64 + 1/512 + ...  = 1/7

умножьте обе стороны этого на length в вашем примере, чтобы дать 

length / 7 = length / 8 + length / 64 + length / 512 + ...

обратите внимание, что это" точное " деление, а не целочисленное деление - я пишу математику, а не Java-код.

тогда приближение предполагает, что третий и последующие члены будут слишком малы, чтобы иметь значение, и что в среднем один из length / 8 и length / 64 скорее всего нужно округлять вверх, а не вниз. Итак, теперь, используя целочисленное деление,length / 7 = length / 8 + length / 64 + 1 очень хорошее приближение.

выражение, которое вы дали, используя побитовые операторы, является просто альтернативным способом написания этого, при условии length положительный.

3

чтобы поставить математический фон для ответа рональхна:

Так как 7=8-1=8*(1-1/8), по геометрическому ряду деление на 7 равно умножению на

1/7 = 1/8·(1+1/8+1/82+1/83+...) = 1/8+1/82+1/83+...

сделать то же самое для деления на 5, можно было бы использовать, что 3·5=16-1 и таким образом

1/5 = 3/16·(1+1/16+1/162+...)

который пригласил бы формулу, как

(3*n)<<4 + (3*n) << 8 + 1
2

вычисление всех значений 

n/8 + n/64 - n/7

ошибка растет линейно, оставаясь отрицательной.

список ниже показывает первый раз, когда данная ошибка появляется

n = 7 e = -1
n = 63 e = -2
n = 511 e = -3
n = 959 e = -4
n = 1407 e = -5
n = 1855 e = -6
n = 2303 e = -7
n = 2751 e = -8
n = 3199 e = -9
n = 3647 e = -10
n = 4095 e = -11
n = 4543 e = -12
n = 4991 e = -13
n = 5439 e = -14
n = 5887 e = -15
n = 6335 e = -16
n = 6783 e = -17
n = 7231 e = -18
n = 7679 e = -19
n = 8127 e = -20
n = 8575 e = -21
n = 9023 e = -22
n = 9471 e = -23
n = 9919 e = -24
...

соотношение явно тяготеет к 1/448 = 1/8 + 1/64 - 1/7.

1