Как сохранить многочлен?

целые числа могут использоваться для хранения отдельных чисел, но не математических выражений. Например, скажем, у меня есть выражение:

6x^2 + 5x + 3

Как я буду хранить многочлен? Я мог бы создать свой собственный объект, но я не вижу, как я могу представить полином через данные-члены. Я не хочу создавать функцию для оценки переданного аргумента, потому что мне нужно не только оценить его, но и манипулировать выражение.

является ли вектор моим единственным вариантом или есть более подходящее решение?

8
language-agnostic math polynomial-math representation variables

8 ответов

простой, но неэффективный способ-сохранить его в виде списка коэффициентов. Например, полином в вопросе будет выглядеть так:

[6, 5, 3]

если терм отсутствует, поместите ноль на его место. Например, многочлен 2x^3 - 4x + 7 будет представлено следующим образом:

[2, 0, -4, 7]

степень многочлена задается длиной списка минус один. Это представление имеет один серьезный недостаток: для разреженных многочленов список будет содержать много нулей.

более разумным представлением списка членов разреженного многочлена является список ненулевых членов, где каждый член представляет собой список, содержащий порядок члена и коэффициент для этого порядка; степень многочлена задается порядком первого члена. Например, многочлен x^100+2x^2+1 будет представлен этим списком:

[[100, 1], [2, 2], [0, 1]]

в качестве примера того, насколько полезно это представление, книга SICP строит простой, но очень эффективный система символической алгебры используя второе представление для полиномов, описанные выше.

7

список не единственный вариант.

вы можете использовать карту (словарь), сопоставляющую показатель с соответствующим коэффициентом.

используя карту, ваш пример будет

{2: 6, 1: 5, 0: 3}

список пар (коэффициент, показатель) вполне стандартный. Если вы знаете, что ваш многочлен плотный, то есть все позиции экспоненты являются малыми целыми числами в диапазоне от 0 до некоторого малого максимального показателя, вы можете использовать массив, как я вижу, Оскар Лопес только что опубликовал. :)

2

выражения можно представлять в виде деревьев выражений. См., например,деревья выражений .NET.

Это позволяет использовать гораздо более сложные выражения, чем простые многочлены, и эти выражения также могут использовать несколько переменных.

в .NET вы можете управлять деревом выражений как деревом и оценивать его как функцию.

        Expression<Func<double,double>> polynomial = x => (x * x + 2 * x - 1);
        double result = polynomial.Compile()(23.0);
2

объектно-ориентированный подход мог бы сказать, что многочлен-это набор Мономов, и Одночлены инкапсулирует коэффициент и Экспонента вместе.

этот подход работает, когда у вас есть полином такой: 

y(x) = x^1000 + 1

подход, который связал структуру данных с полиномиальным порядком, был бы ужасно расточительным для этого патологического случая.

1

вам нужно запомнить две вещи:

  1. степень вашего полинома (например, "3")
  2. список, содержащий каждый коэффициент (например,"{3, 0, 2}")

в стандартном C++ "std::vector" и "std:: list" могут делать и то, и другое.

0

вектор / массив-очевидный выбор. В зависимости от типа выражений вы можете рассмотреть какой-то разреженный векторный тип (изготовленный на заказ, т. е. основанный на словаре или даже связанном списке, если у вас есть 2-3 ненулевых коэффициента 5x^100+x ).

в любом случае выставление через пользовательский класс/интерфейс было бы полезно, поскольку вы можете заменить реализацию позже. Вероятно, вы захотите предоставить стандартные операции ( + , -,*, equals), если планируете написать много выражений код манипуляции.

0

просто сохраните коэффициенты в массиве или векторе. Например, в C++, если вы используете только целочисленные коэффициенты, вы можете использовать std::vector<int>, или для действительных чисел,std::vector<double>. Затем вы просто нажимаете коэффициенты по порядку и получаете к ним доступ по переменной экспоненте.

например (снова на C++), для хранения 5*x^3 + 9*x - 2 Вы можете сделать:

   std::vector<int> poly;
   poly.push_back(-2); // x^0, acceesed with poly[0]
   poly.push_back(9);  // x^1, accessed with poly[1]
   poly.push_back(0);  // x^2, etc
   poly.push_back(5);  // x^3, etc

Если у вас есть большие, разреженные многочлены, то, возможно, вы захотите использовать карту вместо вектора. Если вы исправили размер длины, тогда вы, возможно, используете массив фиксированной длины вместо вектора.

я использовал C++ для примеров, но эта же схема может использоваться на любом языке.

0

вы также можете преобразовать его в обратная польская нотация:

6x^2 + 5x + 3 - > x 2 ^ 6 * x 5 * + 3 +

здесь x и числа "выталкиваются" в стек, а операции ( ^ ,*,+) берут два самых верхних значения из стека и заменяют их результатом операции. В итоге вы получаете результат в стек.

в этой форме легко вычислить произвольно сложный выражения.

это представление также близко к древовидному представлению выражений, где не-листовые узлы дерева представляют операции и функции, а листовые узлы-константы и переменные.

что хорошо в деревьях, так это то, что вы также можете легко оценивать выражения, и вы также можете делать такие вещи, как символическая дифференциация на них. Оба имеют рекурсивный характер.

0