Как суммировать последовательность?

как я могу суммировать следующую последовательность:

⌊n/1⌋ + ⌊n/2⌋ + ⌊n/3⌋ + ... + ⌊n/n⌋

Это просто O (n) решение на C++:

#include <iostream>
int main()
{
   int n;
   std::cin>>n;
   unsigned long long res=0;
   for (int i=1;i<=n;i++)
   {
      res+= n/i;
   }
   std::cout<<res<<std::endl;
   return 0;
}

знаете ли вы лучшее решение, чем это? Я имею в виду O(1) или O(log(n)). Спасибо за ваше время :) и решения

изменить: Спасибо за все ваши ответы. Если кому-то нужно решение O (sqrt(n)): Python:

import math
def seq_sum(n):
 sqrtn = int(math.sqrt(n))
 return sum(n // k for k in range(1, sqrtn + 1)) * 2 - sqrtn ** 2
n = int(input())
print(seq_sum(n))

C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
int main()
{
   int n;
   std::cin>>n;
   int sqrtn = (int)(std::sqrt(n));
   long long res2 = 0;
   for (int i=1;i<=sqrtn;i++)
   {
      res2 +=2*(n/i);
   }
   res2 -= sqrtn*sqrtn;
   std::cout<<res2<<std::endl;
   return 0;
}
13
algorithm c++ discrete-mathematics math

5 ответов

это Дирихле делитель summatory функции D(х). Используя следующую формулу (источник)

D(x)

здесь

u

дает следующее O(sqrt(n)) psuedo-код (который является допустимым Python):

def seq_sum(n):
  sqrtn = int(math.sqrt(n))
  return sum(n // k for k in range(1, sqrtn + 1)) * 2 - sqrtn ** 2

Примечания:

24

из статьи Википедии о функции summatory делитель,

enter image description here

здесь enter image description here. Это должно обеспечить enter image description here решение времени.

EDIT: целочисленная проблема квадратного корня также может быть решена в квадратном корне или даже логарифмическом времени - на всякий случай, если это не очевидно.

7

проект Polymath описывает алгоритм вычисления этой функции во времени O (n^(1/3 + o (1)), см. раздел 2.1 на стр. 8-9 из:

http://arxiv.org/abs/1009.3956

алгоритм предполагает разрезание области на достаточно тонкие интервалы и оценка значение на каждом, где интервалы выбраны достаточно тонкими, чтобы оценка была точной при округлении до ближайшего целого числа. Таким образом, вы вычисляете до некоторого диапазона непосредственно (они предлагают 100n^(1/3), но вы можете изменить это с некоторой осторожностью), а затем сделать все остальное в этих тонких ломтиках.

посмотреть запись OEIS для получения дополнительной информации об этой последовательности.

Edit: теперь я вижу, что Kerrek SB упоминает этот алгоритм в комментариях. Справедливости ради, однако, я добавил комментарий к OEIS 5 лет назад, поэтому я не чувствую себя плохо за публикацию " его " ответа. :)

Я должен также упомянуть, что алгоритм O(1) невозможен, так как ответ вокруг N log n и, следовательно, даже писать требуется время > log n.

5

давайте разделим все числа {1, 2, 3, ..., n} на 2 группы: меньше или равно sqrt(n) и больше sqrt(n). Для первой группы мы можем вычислить сумму с помощью простой итерации. Для второй группы, мы можем использовать следующее наблюдение: если a > sqrt(n), чем n / a < sqrt(n). Вот почему мы можем перебирать значение [n / i] = d (от 1 to sqrt(n)) и вычислить количество таких i это [n / i] = d. Его можно найти в O(1) для фиксированного d воспользовавшись тем, что [n / i] = d означает i * d <= n and i * (d + 1) > n, что дает [n / (d + 1)] < i <= [n / d].

первая и вторая группы обрабатываются в O(sqrt(n)), что дает O(sqrt(n)) раз в общей сложности.

1

большие n используйте формулу:

enter image description here

здесь enter image description here

(enter image description here является трансцендентным числом.)

посмотреть константа Эйлера-Машерони статьи для получения дополнительной информации.

0