Как вычислить сложение точек с помощью Якобианской системы координат над эллиптическими кривыми

при работе с эллиптическими кривыми координаты находятся в поле. Для криптографии это конечное поле; в вашем случае " целые числа по модулю простого p". все операции подразумеваются в этом поле, т. е. вы должны делать каждое сложение, умножение или инверсию по модулю p.

при добавлении точек, есть несколько особых случаев, которые вы должны обрабатывать особенно:

• существует специальная "точка на Бесконечности", которая не имеет координат x и y. Это "ноль" сложения кривой. В общей процедуре добавления точек вы должны иметь способ кодировать "точку на Бесконечности" и специально проверять ее.

• при добавлении (x,y) to (x',y'), может случиться, что x = x'. В таком случае, либо y =y', и тогда это точка удвоения который имеет свою конкретную формулу (Если вы применяете общую формулу, вы в конечном итоге делите на ноль, что не будет работать); или, y = - y' в этом случае сумма является "точкой на бесконечности".

таким образом, общая формула должна применяться только после обработки специального случая. Во всей общности, в Кривой y² = x³+a * x+b, сумма (x₁, y₁) и (x₂, y₂) is (x₃, y₃) такое, что x₃ = f² - x₁ - x₂ и y₃ = f·(x₁ - x₃) - y₁, где f = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Это предполагает вычисление одного деления и двух умножений и несколько вычитаний (все операции выполняются по целым числам по модулю p, как объяснено выше).

деление и инверсия по модулю p относительно дороги (модульное деление обычно имеет ту же стоимость, что и около 80 умножений), поэтому в некоторых ситуациях мы используем проективный или Якобианский системы координат. Якобиан координат о точку, как три значения (X,Y,Z) (все они в конечном поле, т. е. целые числа по модулю p) такие, что x = X / Z² и y = Y / Z³.

каждая точка (x,y) имеет много возможных представлений как (X,Y,Z). Преобразование to Якобиан координат легко установив X = x, Y = y и Z = 1: (x,y,1) вполне допустимо Якобиана представление (x,y) точка. Преобразование С Якобиан координат в вычислительном отношении сложнее: вы должны сделать модульную инверсии, и несколько умножений (вычисления U = 1 / Z, потом x = X * U² и y = Y * U³).

с Якобиан координат, сложение двух точек производится в десяти местах умножения и деления на всех. Вы получите только Якобиан представление результата, поэтому вам все равно придется сделать модульную инверсии или разделение в некоторой точке; (и вот зачем ты тащил через Якобиан координат), что деление может быть mutualized. Если вам нужно сделать сто или около того последовательных точечных дополнений (как это типично в криптографическом контексте, когда "умножаем" точку на целое число), то вы можете использовать Якобиан представительств по всей, и сделать одно преобразование обратно в декартовых координатах (x,y) в конце. Таким образом, вместо 200 умножений и 100 делений вы делаете 1000 умножений и 1 инверсию; поскольку инверсия стоит столько же, сколько 80 умножений, выигрыш заметен.

попробуйте воспользоваться книги; любая хорошая библиотека колледжа должна иметь один. Это все очень ясно объясняет.

вот пример в python:

def to_jacobian((Xp, Yp)):
    """
    Convert point to Jacobian coordinates

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :return: Point in Jacobian coordinates
    """
    return (Xp, Yp, 1)

def from_jacobian((Xp, Yp, Zp), P):
    """
    Convert point back from Jacobian coordinates

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :param P: Prime number in the module of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :return: Point in default coordinates
    """
    z = inv(Zp, P)
    return ((Xp * z**2) % P, (Yp * z**3) % P)

def jacobian_add((Xp, Yp, Zp), (Xq, Yq, Zq), A, P):
    """
    Add two points in elliptic curves

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :param (Xq,Yq,Zq): Second Point you want to add
    :param P: Prime number in the module of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :param A: Coefficient of the first-order term of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :return: Point that represents the sum of First and Second Point
    """
    if not Yp:
        return (Xq, Yq, Zq)
    if not Yq:
        return (Xp, Yp, Zp)
    U1 = (Xp * Zq ** 2) % P
    U2 = (Xq * Zp ** 2) % P
    S1 = (Yp * Zq ** 3) % P
    S2 = (Yq * Zp ** 3) % P
    if U1 == U2:
        if S1 != S2:
            return (0, 0, 1)
        return jacobian_double((Xp, Yp, Zp), A, P)
    H = U2 - U1
    R = S2 - S1
    H2 = (H * H) % P
    H3 = (H * H2) % P
    U1H2 = (U1 * H2) % P
    nx = (R ** 2 - H3 - 2 * U1H2) % P
    ny = (R * (U1H2 - nx) - S1 * H3) % P
    nz = (H * Zp * Zq) % P
    return (nx, ny, nz)

таким образом, вы можете суммировать с:

def fast_add(a, b, A, P):
    return from_jacobian(jacobian_add(to_jacobian(a), to_jacobian(b), A, P), P)