Какова минимальная стоимость подключения всех островов?

чтобы подойти к этой проблеме, я бы использовал целочисленную структуру программирования и определил три набора переменных решения:

• x_ij: двоичная индикаторная переменная для того, строим ли мы мост в месте расположения воды (i, j).
• y_ijbcn: двоичный индикатор того, является ли местоположение воды (i, j) n^ - м местоположением, связывающим остров b с островом c.
• l_bc: переменная двоичного индикатора для острова b и c напрямую связаны (ака вы можете ходить только по мостовым площадям от b до c).

для стоимости строительства моста c_ij, целевое значение для минимизации -sum_ij c_ij * x_ij. Нам нужно добавить в модель следующие ограничения:

• мы должны обеспечить y_ijbcn переменные являются действительными. Мы всегда можем добраться только до водной площади, если построим там мост, так что y_ijbcn <= x_ij для каждого местоположения воды (i, j). Далее,y_ijbc1 должно быть равно 0, если (i, j) не граничит с островом b. Наконец, для n > 1,y_ijbcn может использоваться только в том случае, если на шаге n-1 было использовано соседнее водное местоположение. Определение N(i, j) чтобы быть соседними квадратами воды (i, j), это эквивалентно y_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1).
• мы должны обеспечить l_bc переменные устанавливаются только в том случае, если B и c связаны. Если мы определим I(c) чтобы быть местоположениями, граничащими с островом c, это может быть выполнено с l_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn.
• мы должны обеспечить что все острова связаны, прямо или косвенно. Это можно сделать следующим образом: для каждого непустого собственного подмножества s островов требуется, чтобы по крайней мере один остров в S был связан по крайней мере с одним островом в дополнении S, которое мы будем называть S'. В ограничениях мы можем реализовать это, добавив ограничение для каждого непустого множества s размера sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1.

для экземпляра проблемы с K островами, W вода квадраты и заданная максимальная длина пути N, это смешанная целочисленная модель программирования с O(K^2WN) переменные и O(K^2WN + 2^K) ограничения. Очевидно, что это станет трудноразрешимым, поскольку размер проблемы становится большим, но он может быть разрешим для размеров, которые вас волнуют. Чтобы получить представление о масштабируемости, я реализую его в python с помощью пакета pulp. Давайте начнем с карты меньшего размера 7 x 9 с 3 островами в нижней части вопроса:

import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
         (1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
         (1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
         (2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
         (2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
         (3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
         (3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
         (4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
         (4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
         (5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
         (5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
         (6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
         (6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6

# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
    iborders[k] = {}
    for i, j in islands[k]:
        for dx in [-1, 0, 1]:
            for dy in [-1, 0, 1]:
                if (i+dx, j+dy) in water:
                    iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True

# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
    for b, c in pairs:
        for n in range(N):
            yvals.append((i, j, b, c, n))

y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)

# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])

# Valid y
for k in yvals:
    i, j, b, c, n = k
    mod += y[k] <= x[(i, j)]
    if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
        mod += y[k] == 0
    elif n > 0:
        mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])

# Valid l
for b, c in pairs:
    mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])

# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
    for S in itertools.combinations(ikeys, size):
        thisSubset = {m: True for m in S}
        Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
        mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1

# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
    for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
        if (row, col) in water:
            if x[(row, col)].value() > 0.999:
                print "B",
            else:
                print "-",
        else:
            print "I",
    print ""

это занимает 1,4 секунды для запуска с помощью решателя по умолчанию из пакета pulp (решатель CBC) и выводит правильное решение:

I I - - - - - I I 
- - B - - - B - - 
- - - B - B - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - I I I - - - 

Далее рассмотрим полную проблему в верхней части вопроса, которая представляет собой сетку 13 x 14 с 7 островами:

water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
           1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
               (11, 2), (12, 0)],
           2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
           3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
           4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
           5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
           6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
               (12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
    for i, j in islands[k]:
        del water[(i, j)]

for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
             (11, 7), (12, 7)]:
    water[(i, j)] = 20.0

N = 7

решатели MIP часто получают хорошие решения относительно быстро, а затем тратят огромное количество времени, пытаясь доказать оптимальность решения. Используя тот же код решателя, что и выше, программа не завершается в течение 30 минут. Однако вы можете предоставить тайм-аут решателю, чтобы получить приблизительное решение:

mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))

это дает решение с объективным значением 17:

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - B - - - B - - - 
- - - B - B - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - - - - B - - 
- - - - - B - I - - - - B - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I 

чтобы улучшить качество получаемых решений, вы можете использовать коммерческий решатель MIP (это бесплатно, если вы находитесь в Академическом учреждении и, вероятно, не бесплатно в противном случае). Например, вот производительность Gurobi 6.0.4, опять же с 2-минутным ограничением времени (хотя из журнала решений мы читаем, что решатель нашел текущее лучшее решение в течение 7 секунд):

mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))

это на самом деле находит решение объективной ценности 16, лучше, чем OP смог найти вручную!

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - - - - - B - - - 
- - - B - - - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - B B - - - - 
- - - - - B - I - - B - - - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I