Построение системы компьютерной алгебры

действительно полезным следующим шагом было бы построить дерево разбора:

вы бы сделали один из них, написав синтаксический анализатор. Вы можете сделать это, написав простой рекурсивный парсер спуска или введя большие пушки и использование генератора синтаксического анализатора. В любом случае, это помогает построить формальную грамматику:

expression: additive

additive: multiplicative ([+-] multiplicative)*

multiplicative: primary ('*' primary)*

primary: variable
       | number
       | '(' expression ')'

заметим, что эта грамматика не обрабатывает 2x синтаксис, но это должно быть легко добавлять.

обратите внимание на умное использование рекурсии в правилах грамматики. primary захватывает только переменные, числа и выражения в скобках и останавливается, когда он сталкивается с оператором. multiplicative анализирует один или несколько primary выражениями-символами * знаки, но останавливается, когда он работает в + или - знак. additive анализирует один или несколько multiplicative выражениями-символами + и -, но останавливается, когда он работает в ). Следовательно, схема рекурсии определяет приоритет оператора.

это не слишком сложно реализовать предиктивный синтаксический анализатор вручную, как я сделал ниже (см. полный пример на ideone.com):

function parse()
{
    global $tokens;
    reset($tokens);
    $ret = parseExpression();
    if (current($tokens) !== FALSE)
        die("Stray token at end of expression\n");
    return $ret;
}

function popToken()
{
    global $tokens;
    $ret = current($tokens);
    if ($ret !== FALSE)
        next($tokens);
    return $ret;
}

function parseExpression()
{
    return parseAdditive();
}

function parseAdditive()
{
    global $tokens;

    $expr = parseMultiplicative();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            ($next->op == "+" || $next->op == "-"))
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parseMultiplicative();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parseMultiplicative()
{
    global $tokens;

    $expr = parsePrimary();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            $next->op == "*")
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parsePrimary();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parsePrimary()
{
    $tok = popToken();
    if ($tok === FALSE)
        die("Unexpected end of token list\n");
    if ($tok->type == "variable")
        return mkVariableExpr($tok->name);
    if ($tok->type == "number")
        return mkNumberExpr($tok->value);
    if ($tok->type == "operator" && $tok->op == "(") {
        $ret = parseExpression();
        $tok = popToken();
        if ($tok->type == "operator" && $tok->op == ")")
            return $ret;
        else
            die("Missing end parenthesis\n");
    }

    die("Unexpected $tok->type token\n");
}

хорошо, теперь у вас есть это прекрасное дерево разбора, и даже красивая картина, чтобы пойти с ним. И что теперь? Ваша цель (на данный момент) может быть просто объединить условия, вы получите результат в виде:

n1*a + n2*b + n3*c + n4*d + ...

эту часть я оставляю вам. Имея разбор дерево должно сделать все намного проще.