Преобразование неориентированного графа в дерево

здесь предложение о том, как решить вашу проблему.

предпосылки

• Примечание:
  
  • g графика g.v вершин графа
  • v,w,z: отдельные вершины
  • e: индивидуальные краю
  • n: количество вершин
• любая комбинация неориентированного дерева g и заданного узла g.V однозначно определяет направленное дерево с корнем g.v (доказуемо индукцией)

идея

• дополнить края g по ориентациям в направленном дереве, подразумеваемым g и еще не найденный корневой узел локальными вычислениями в узлах g.
• эти ориентации будут представлять дочерние-родительские-relationsships между узлами (v -> w: v ребенка, w parent).
• полностью отмеченное дерево будет содержать единственный узел с outdegree 0, который является желаемый корневой узел. вы можете получить 0 или более одного корневого узла.

алгоритм

предполагает стандартное представление структуры графика / дерева (например, список смежности)

1. все вершины в g.v изначально помечены как не посещенные, не законченные.

2. посетить все вершины в произвольном порядке. пропустить узлы, помеченные как "готово".
   пусть v быть посещаемой вершиной.

   • 2.1 развертки через все края, связывающие v по часовой стрелке, начиная со случайно выбранного e_0 в порядке угла ребер с e_0.

   • 2.2. ориентация смежных ребер e_1=(v,w_1), e_2(v,w_2), которые охватывают острый угол.
     смежный: wrt упорядочивается в соответствии с углом, который они заключают в e_0.

     [ Примечание: существование такой пары не гарантируется, см. 2-й комментарий и последнее замечание. если нет острого угла, перейти на 2. со следующим узлом. ]

     • 2.2.1 положения края e_1, e_2 известны:

       • w_1 -> v -> w_2: невозможно, так как дедушка-ребенок-сегмент будет заключать острый угол
       • w_1 <- v <- w_2: невозможно, по той же причине

       • w_1 <- v -> w_2: невозможно, нет узлов с outdegree >1 в дереве

       • w_1 -> v <- w_2:
         возможна только пара ориентаций. e_1, e_2 может были ориентированы раньше. если предыдущая ориентация нарушает текущее назначение, экземпляр проблемы не имеет решения.

     • 2.2.2 это назначение подразумевает древовидную структуру на подграфах, индуцированных всеми вершинами, достижимыми из w_1 (w_2) на пути, не включающем e_1 (e_2`). отметьте все вершины в обоих индуцированных поддеревьях как законченные

       [ Примечание: структура поддерева может нарушать ограничения угла. в в этом случае проблема не имеет решения. ]

   • 2.3 метки v посетил. после завершения шагов 2.2 в vertex v проверьте количество nc соединяющихся ребер, которым еще не назначена ориентация.

     • nc = 0: это корень, который вы искали , но вы должны проверить, совместимо ли решение с вашими ограничениями.

     • nc = 1: пусть этот край будет (v,z).
       ориентация этого ребра v - >z, как вы находитесь в дереве. Марк v как законченный.

       • 2.3.1 проверить z помечено ли оно готово. если это не так, проверьте номер nc2 из неориентированных ребер, соединяющих z. nc2 = 1: повторите шаг 2.3, взяв z на v.

3. если вы еще не нашли корневой узел, экземпляр проблемы неоднозначен: ориентируйте оставшиеся неориентированные края по желанию.

Примечания

1. прекращение: каждый узел посещается максимум 4 раза:

   • один раз на Шаг 2
   • на максимальном дважды в шаг 2.2.2
   • на максимальном раз в шаг 2.3

2. правильность:

   • все края заключая острый угол ориентированы в шаг 2.2.1

3. сложность (время):

   • посещение каждого узла: O (n);

   • развертка по часовой стрелке через все ребра, соединяющие данную вершину, требует сортировки этих ребер.
     таким образом, вам нужно O( sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) ) at m <= n вершины под ограничением sum_i=1..m k_i = n.

     в общей сложности это требует O ( n * lg n), as sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) <= n * lg n дано sum_i=1..m k_i = n любой m <= n (доказуемо путем применения оптимизации Лагранжа).

     [ Примечание: Если ваши деревья имеют степень, ограниченную константой, вы теоретически сортируете в постоянное время на каждом затронутом узле; общая сумма в этом случае:O(n) ]

   • поддерево обозначение:
     каждый узел на графике посещается не более 2 раз этой процедурой, если она реализована как dfs. таким образом, в общей сложности O(n) для вызова этой подпрограммы.

     в итоге: O(n * lg n)

4. сложности (пространство):

   • O(n) для сортировки (с вершинной степенью, не связанной с константой).

5. проблема, вероятно, плохо определена:

   • несколько решений: например, steiner tree
   • нет решения: например, график в форме стрелки с двойным наконечником ( )