Сумма и произведение в заданном диапазоне

даны четыре целых положительных числа S_1, S_2, P_1 и P_2, есть ли способ быстро найти любые два числа a и b такое, что:

  • S_1 leq a+b leq S_2 и
  • P_1 leq ab leq P_2?

, когда S_1 = S_2 и P_1 = P_2, существует закрытая форма O(1) решение с помощью квадратных уравнений. Мы просто должны найти корни a^2 - S_1*a + P_1 и это даст нам подходит a.

, когда S_1 = S_2, Я знаю, как решить ее в O(log S_1) заметив, что кривая f(a) = a(S_1 - a) выпуклая и поэтому мы можем просто двоичный поиск подходящего a.

, когда P_1 = P_2, это может быть решено в O(sqrt P_1) по факторингу P_1 и ищет пару факторов, которые суммируются со значением в пределах диапазона.

когда оба они являются диапазонами, однако, я не могу придумать какой-либо алгоритм, который может решить это эффективно. Существуют некоторые возможные эвристики, такие как фиксация одного из двух (итерация через меньший диапазон и т. д.), или немедленно сообщить, что нет пары, когда максимально возможное произведение, которое может быть сделано с суммированием двух целых чисел к S_2 меньше, чем P_1, etc.

к сожалению, я не смог придумать ничего, что работало бы в общем случае быстрее, чем итерация через все в любом O(|S_2-S_1|) или O(|P_2-P_1|) (возможно, с некоторыми дополнительными мелких факторов). Есть ли хороший алгоритм или какая-то причудливая математика, которая дает более быстрое решение?

альтернативно, есть ли способ доказать, что итерация завершается быстро? (После обработки некоторых угловых случаев и т. д.) Меня не интересует количество допустимых пар; поиск любой пары будет делать. Похоже, что итерация по произведению и попытка найти соответствующую сумму имеют тенденцию быстро находить решение, если диапазон допустимых сумм достаточно велик. Могут ли быть какие-то доказательства?

Я был бы очень признателен за любую помощь!

6
algorithm math

1 ответов

вы можете решить его в O (sqrt (P2)) время.

  1. найдите эти суммы: small_sum = I + ceiling(P1/i) и big_sum = i + floor(P2/i) для i между 1 и sqrt (P2).

  2. Если small_sum > big_sum или big_sum С2, то я не партн решения. Двигаться дальше.

  3. в противном случае max(small_sum, s1) min(big_sum, s2) и все значения между "хорошими суммами."Для любого из них пусть j = good_sum-i. Тогда i + j является a значение между s1 и s2, а i * j-между p1 и p2.

мы проверяем не более sqrt (P2) значений i, и для каждого из этих значений мы выполняем постоянную работу.

Edit -- Ruby реализация

def solve(s1, s2, p1, p2)
  max_i = (p2**0.5).floor
  1.upto(max_i) do |i|
    small_sum = i + (p1/i.to_f).ceil
    big_sum = i + (p2/i.to_f).floor
    next if big_sum < s1 || small_sum > s2 || big_sum < small_sum
    good_sum = [small_sum, s1].max
    puts "sum: #{i} + #{good_sum - i} = #{good_sum}, #{s1} <= #{good_sum} <= #{s2}"
    puts "product: #{i} * #{good_sum-i} = #{i*(good_sum-i)}, #{p1} <= #{i*(good_sum-i)} <= #{p2}"
    return
  end
  puts "no solution"
end
3