Зная две точки прямоугольника, как я могу понять две другие?

Привет, ребята, я изучаю обработку.js, и я столкнулся с математической проблемой, которую я не могу решить с моими ограниченными знаниями геометрии и тригонометрии или с помощью Википедии.

Мне нужно нарисовать прямоугольник. Чтобы нарисовать этот прямоугольник, мне нужно знать координаты точек каждого угла. Все, что я знаю, это x и y для средних точек верхней и нижней частей коробки и длины всех четырех сторон.

никакая гарантия на ориентации коробка.

помочь? Кажется, это должно быть легко, но это действительно ставит меня в тупик.

8
geometry math processing.js trigonometry

9 ответов

если этот четырехугольник является прямоугольником (все четыре угла 90 градусов), то его можно решить. (если это может быть любой четырехугольник, то он не разрешим)

если точки (x1, y1) и (x2, y2), и если две точки не являются идеально вертикальными (x1 = x2) или горизонтальными (y1 = y2), то наклон одного края прямоугольника

m1 = (y2-y1) / (x2-x1)

и наклон другого края:

m2 = - 1 / m1

если вы знаете длины сторон, и средние точки двух противоположных сторон, то точки corrner легко определяются путем добавления dx, dy к средним точкам: (если L-длина сторон, на которых находятся средние точки)

dx = Sqrt( L^2 / (1 + m2^2) ) / 2

и

dy = m2 * dx

Примечание: Если точки вертикально или горизонтально выровнены, этот метод не будет работать, хотя очевидное решение для этих дегенеративных случаев намного проще.

8

если вы знаете, что ваш четырехугольник прямоугольник, то вы можете использовать некоторые простые векторные математики, чтобы найти координаты углов. Известно:

  • (x1,y1) - координата средней точки На верхней линии
  • (x2,y2) - координата средней точки в нижней строке
  • l1 - длина верхней и нижней строк
  • l2 - длина двух других строк

во-первых, мы найти вектор между двумя известными точками. Этот вектор параллелен боковым линиям:

(vx, vy) = (x2 - x1, y2 - y1)

нам нужно нормализовать этот вектор (т. е. сделать его длиной 1), чтобы мы могли использовать его позже в качестве основы для поиска наших координат.

vlen = sqrt(vx*vx + vy*vy)

(v1x, v1y) = (vx / vlen, vy / vlen)

далее поворачиваем этот вектор против часовой стрелки на 90 градусов. Повернутый вектор будет параллелен верхней и нижней линий. Поворот на 90 градусов оказывается меняю координаты и отрицаю одну из них. Вы можете увидеть это, просто попробовав это на бумаге. Или взгляните на уравнения для 2D вращения и замените в 90 градусах.

(u1x, u1y) = (-v1y, v1x)

теперь у нас есть достаточно информации, чтобы найти верхний левый уголок. Мы просто начинаем с нашей точки (x1, y1) и отойдите назад вдоль этой стороны на половину длины стороны:

(p1x, p1y) = (x1 - u1x * l1 / 2, y1 - u1y * l1 / 2)

отсюда мы можем найти остальные точки просто путем добавления соответствующих кратных наших базисных векторов. При реализации этого вы можете, очевидно, ускорить его, только вычисляя каждое уникальное умножение один раз:

(p2x, p2y) = (p1x + u1x * l1, p1y + u1y * l1)

(p3x, p3y) = (p1x + v1x * l2, p1y + v1y * l2)

(p4x, p4y) = (p3x + u1x * l1, p3y + u1y * l1)

5
  function getFirstPoint(x1,y1,x2,y2,l1,l2)
    distanceV = {x2 - x1, y2 - y1}
    vlen = math.sqrt(distanceV[1]^2 + distanceV[2]^2)
    normalized = {distanceV[1] / vlen, distanceV[2] / vlen}
    rotated = {-normalized[2], normalized[1]}
    p1 = {x1 - rotated[1] * l1 / 2, y1 - rotated[2] * l1 / 2}
    p2 = {p1[1] + rotated[1] * l1, p1[2] + rotated[2] * l1}
    p3 = {p1[1] + normalized[1] * l2, p1[2] + normalized[2] * l2}
    p4 = {p3[1] + rotated[1] * l1, p3[2] + rotated[2] * l1}
    points = { p1 , p2 , p3 , p4}
    return p1
end
2

Это определенно прямоугольник? Тогда вы знаете ориентацию коротких сторон (они параллельны линии между вашими точками) и, следовательно, ориентацию длинных сторон.

вы знаете ориентацию и длину длинных сторон, и вы знаете их средние точки, поэтому легко найти углы оттуда.

реализация остается в качестве упражнения для читателя.

0

Это означает, что будут две линии, параллельные линии между двумя точками, которые у вас есть. Получите углы, переведя линию, у вас есть 1/2 длины верхней стороны в каждом направлении, перпендикулярном линии у вас есть.

0

Если вы знаете среднюю точку для вершины и длину вершины, то вы знаете, что y останется одинаковым для обоих верхних углов, а x будет средней точкой плюс/минус ширина прямоугольника. Это будет справедливо и для низов.

Как только у вас есть четыре угла, нет необходимости беспокоиться о длинах сторон, так как их точки такие же, как те, которые используются для верхней и нижней.

                         midpoint
     x,10                 10,10                   x,10
      *--------------------------------------------*
                         width = 30

    mx = midpoint x.
    top left corner = (w/2) - mx  or 15 - 10
    top left corner coords = -5,10

    mx = midpoint x.
    top right corner = (w/2) + mx  or 15 + 10
    top left corner coords = 25,10
0

существует разница между" четырехугольником "и"прямоугольником".

Если у вас есть средняя точка верхней и нижней, а также длины сторон, остальное просто.

дано:

(x1, y1) -- (top_middle_x, top_middle_y) -- (x2, y1)

(x1, y2) -- (btm_middle_x, btm_middle_y) -- (x2, y2)

и верхняя / нижняя длина вместе с правой / левой длиной.

x1 = top_middle_x-top/bottom_length / 2; x2 = x1 + top/bottom_length;

y1 = top_middle_y y2 = bottom_middle_y

очевидно, что это самый простой случай и предполагающий что линия (tmx, tmy) (bmx, bmy) находится исключительно вдоль оси Y.

мы назовем эту линию "средней линией".

следующий трюк-взять среднюю линию и вычислить ее смещение вращения от оси Y.

теперь мой триггер супер ржавый.

dx = tmx-bmx, dy = tmy - bmy.

Итак, тангенс угла равен dy / dx. Арктангенс (dy / dx) - это угол линии.

от этого вы можете получить ориентация.

если у вас есть ориентация, вы можете "повернуть" линию к оси Y. Посмотрите 2D-графику для математики, это прямо вперед.

это дает вам вашу нормальную ориентацию. Затем вычислите точки прямоугольников в этой новой нормальной форме и, наконец, поверните их обратно.

Виола. Прямоугольник.

другие вещи, которые вы можете сделать, это "поверните" линию в половину длины "сверху" линии на 90 град середины линии. Допустим, у вас средняя линия 45 градусов. Вы начнете эту линию с tmx, tmy и повернете эту линию на 135 градусов (90 + 45). Эта точка будет вашим "верхним левым" углом. Поверните его -45 (45 - 90), чтобы получить "верхнюю правую" точку. Затем проделайте нечто подобное с нижними точками.

0

вычислите угол линии, соединяющей две средние точки, используя функцию arc-tangent, примененную к вектору, который вы получаете между ними.

вычесть 90 градусов от этого угла, чтобы получить направление верхнего края

начиная с верхней центральной точки, переместите относительную (1/2 верхней ширины X sin(угол), 1/2 верхней ширины x cos (угол)) - это получает верхнюю правую угловую точку.

продолжайте вокруг прямоугольника, используя sin и cos углов и ширины, как соответствующий

в качестве теста: проверьте, что вы вернулись к начальной точке

0
/* rcx = center x rectangle, rcy = center y rectangle, rw = width rectangle, rh = height rectangle, rr = rotation in radian from the rectangle (around it's center point) */

function toRectObjectFromCenter(rcx, rcy, rw, rh, rr){
    var a = {
        x: rcx+(Math.sin((rr-degToRad(90))+Math.asin(rh/(Math.sqrt(rh*rh+rw*rw)))) * (Math.sqrt(rh*rh+rw*rw)/2)), 
        y: rcy-(Math.cos((rr-degToRad(90))+Math.asin(rh/(Math.sqrt(rh*rh+rw*rw)))) * (Math.sqrt(rh*rh+rw*rw)/2))
    };
    var b = {
        x: a.x+Math.cos(rr)*rw,
        y: a.y+Math.sin(rr)*rw
    };
    var c = {
        x: b.x+Math.cos(degToRad(radToDeg(rr)+90))*rh,
        y: b.y+Math.sin(degToRad(radToDeg(rr)+90))*rh
    };
    var d = {
        x: a.x+Math.cos(degToRad(radToDeg(rr)+90))*rh,
        y: a.y+Math.sin(degToRad(radToDeg(rr)+90))*rh
    };
    return {a:a,b:b,c:c,d:d};
}
0