Нужно регулярное выражение для конечных автоматов: четное число 1s и четное число 0s

Как написать регулярное выражение для DFA с помощью теоремы Ардена

позволяет вместо языковых символов 0,1 взять Σ = {a, b} и следующее-Новый DFA.

Уведомление государственного старт м₀

вы не дали, но в моем ответе начальное состояние Q₀, где конечное состояние также Q₀.

язык, принятый is DFA, установлен из всех строки состоят из символов a и b где количество символов a и b еще (в том числе Λ).

пример строки {Λ, aa, bb, abba, babbab }, нет ограничения порядка и скороговорки появления символа просто оба должны быть четным количеством времени.
Примечание: Λ разрешено, потому что число(a) и numberOf (b) равен нулю, что даже.

как я уже сказал в моем строчке ответ:Как написать регулярное выражение для DFA каждое государство хранит некоторую информацию. Ниже приведена информация о том, какая информация хранится в каждом состоянии выше DFA.

Q₀: четное число a и даже количество b
Q₁: нечетное число a и даже количество b
Q₂: нечетное число a и нечетное число b
Q₃: четное число a и нечетное число b

(вы можете сделать DFAs для более интересных языков, изменив набор конечных насыщений)
_{следует прочитать выровненный ответ, потому что мой подход к оштрафованному RE для DFA в обоих ответах отличается}

что такое обычный Выражение?
Подход ниже объясняется с помощью Арден терм, может применяться на диаграмме перехода, в которой есть одно начальное состояние и нет никакого нулевого перемещения (наш DFA находится в этой форме). Эту технику объясняют в книге:--143-->Формальные Языки И Теория Автоматов

помните 4.2 ТЕОРЕМА АРДЕНА:

пусть B и C be-это два регулярных выражения Σ. Если C не содержит Λ, то для уравнения A = B + AC имеет единственное (одно и только одно) решение A = BC*.

[решение]:

Шаг 1: напишите начальное уравнение, одно уравнение для соответствующего каждому состоянию в DFA. Это уравнение означает, как состояние может быть достигнуто за один шаг

таким образом, согласно нашему DFA возможны следующие 4-уравнения:

1. Q₀ = Λ + Q₁a + Q₃b
2. Q₁ = Q₀a + Q₂b
3. Q₂ = Q₁b + Q₃a
4. Q₃ = Q₀b + Q₂a

в уравнении (1) extra Λ потому что Q₀ начальный состояние, может быть достигнуто без какого-либо ввода (точка начала). Потому Что Q₀ также является только конечным состоянием, строка состоит из a, b приемлемо, если он заканчивается на Q₀. Значение Q₀ даст нам требуемое регулярное выражение, поэтому наша цель-просто уравнение-(1) в терминах a, b.

Шаг 2: упростите уравнение, используя значение состояний из других уравнений и используя Упрощенное уравнение Ардена.

давайте сначала возьмем уравнение-(4) и заменим значение Q₂ из уравнения(3).

Q₃ = Q₀b + Q₂a
Q₃ = Q₀b + (Q₁b + Q₃a) a
Q₃ = Q₀b + Q₁ba + Q₃aa

последнее уравнение можно просмотреть в виде уравнения Ардена A = B + AC. Где A-Q₃, B = Q₀b + Q₁ba и C = aa. Итак, согласно Терму Ардена, уравнение Q₃ = Q₀b + Q₁ba + Q₃aa имеет уникальное решение, которое:

Q₃ = (Q₀b + Q₁ba)(aa)*

или можно написать это следующим образом:

5. Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₁ba (aa)*

логически вы можете проверить / понять eq - (5) означает Q₃ может быть достигнуто двумя способами (+) кулак от подачи b на Q₀ тогда есть петля с меткой aa на Q₃, второй путь от Q₁ с применение ba.

аналогичным образом, мы можем упростить уравнение(2)

Q₁ = Q₀a + Q₂b
Q₁ = Q₀a + (Q₁b + Q₃a) b
Q₁ = Q₀a + Q₁bb + Q₃ab

используйте здесь правила упрощения Ардена.

Q₁ = (Q₀a + Q₃ ab) (bb)*

дальнейшее упрощение

6. Q₁ = Q₀a (bb)* + Q₃ab (bb)*

теперь значение Q₃ из уравнения(5) в уравнение(6)

Q₁ = Q₀a (bb)* + (Q₀b (aa)* + Q₁ba (aa)*) ab(bb)*
Q₁ = Q₀a (bb)* + Q₀b(aa)* ab (bb)* + Q₁ba( aa)* ab(bb)*

снова улучшите это последнее уравнение, используя закон упрощения Ардена.

Q₁ = (Q₀a (bb)* + Q₀b( aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)*

принять Q₀ аферист:

7. Q₁ = Q₀(a (bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)*

можете ли вы понять это уравнение, его, как вы можете перейти к Q₁ из состояния Q₀? Мы помним это решение в уравнение(7)

как указано выше, мы можем оценить значение Q₁ в терминах состояния Q₀ и a, b, аналогично мы должны оценить значение для состояния Q₃. Для этого мы можем просто поставить значение состояния Q₁ из уравнения(5) в уравнение(7).

5. Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₁ba (aa)*
. Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₀(a (bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)*ba(aa)*
8. Q₃ = Q₀ (b (aa)* + (a(bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)* ba(aa)*)

теперь в уравнении (1) поставьте значение состояния Q₃ и Q₁ из числа уравнений (8) и (7) восприимчиво.

Q₀ = Λ + Q₁a + Q₃b
Q₀ = Λ + Q₀(a (bb)* + (aa)* ab(bb)* ) (ba (aa)* ab(bb)*) * a + Q₀ (b (aa)* + (a(bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)* ba(aa)*) B

теперь, в последний раз применить решение Arden, чтобы найти значение состояния Q₀ в терминах символов a и b.

Q₀ = Λ + ((a (bb) * + (aa)* ab (bb)* ) (ba (aa) * ab (bb)* ) * a + (b (aa) * + (a (bb) * + b(aa)* ab (bb)*) (ba(aa)* ab(bb)* )* ba (aa)* ) b )*

это то же самое, что (мы можем отбросить Λ здесь) RE:

((a (bb) * + (aa)* ab (bb)*) (ba(aa)* ab ( bb)* )* a + (b (aa)* + (a(bb)* + b(aa)* ab (bb)*) (ba(aa)* ab(bb)* )* ba (aa)* ) b )*

это тот огонь, который вы ищете.

я не уверен, что это можно упростить. Я оставляю это как упражнение для тебя.

в связанном вопросе я предложил неформальный и аналитический но было трудно применить и найти RE для этого DFA, и этот вопрос демонстрирует силу теоремы Ардена и пошаговое решение.

Edit:

мое предыдущее регулярное выражение корректно, но трудно для винограда, потому что несимметричная форма. Ниже я пишу новую форму RE, которая более симметрична.

мы имеем уравнение - (5), (6) следующим образом:

5. Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₁ba (aa)*
6. Q₁ = Q₀a (bb)* + Q₃ab (bb)*

оба симметричны в конструкции и легки для того чтобы выучить. (прочитайте мой комментарий после eq - (5) выше)

оценить значение состояния Q₁ в терминах Q₀, я поставил значение Q₃ из уравнения(5) в уравнение(6), что дает мне уравнение(7) следующим образом:

7. Q₁ = Q₀(a (bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)*

аналогично, чтобы оценить значение состояния Q₃ в терминах Q₀, мы можем поставить значение Q₁ из уравнения(6) в уравнение(5), что даст нам новую форму уравнением(8) следующим образом:

Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₁ba (aa)*
Q₃ = Q₀b (aa)* + (Q₀a (bb)* + Q₃ ab(bb)* ) ba (aa)*
Q₃ = Q₀b (aa)* + Q₀a(bb)* ba (aa)* + Q₃ ab(bb)* ba (aa)*

теперь мы можем получить уравнение - (8) в желаемой форме:

8. Q₃ = Q₀(b (aa)* + a(bb)* ba(aa)*) (ab(bb)* ba(aa)*)*

теперь у нас есть уравнение-(1), (7), (8):

1. Q₀ = Λ + Q₁a + Q₃b
7. Q₁ = Q₀(a (bb)* + b(aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)*
8. Q₃ = Q₀(b (aa) * + a( bb) * ba (aa)*) (ab (bb)* ba(aa)* )*

теперь мы можем получить уравнение - (8) в желаемой форме:

8. Q₃ = Q₀(b (aa)* + a(bb)* ba(aa)*) (ab(bb)* ba(aa)*)*

теперь у нас есть уравнение-(1), (7), (8):

1. Q₀ = Λ + Q₁a + Q₃b
7. Q₁ = Q₀(a (bb)* + b(aa)* ab (bb)*) (ba(aa)* ab (bb)*)*
8. Q₃ = Q₀(b (aa)* + a(bb)* ba(aa)*) (ab(bb)* ba(aa)*)*

теперь поставьте значение состояния Q₁ и Q₃ в уравнение(1):

Q₀ = Λ + Q₀(a(bb)* + b(aa)* ab (bb)*) (ba(aa)* ab (bb)* )* a + Q₀(b (aa) * + a( bb) * ba (aa)*) (ab (bb)* ba (aa)*) * b

также можно записать как:

Q₀ = Λ + Q₀ ((a (bb) * + b( aa)* ab(bb)*) (ba(aa)* ab(bb)*)* a + (b(aa)* + a(bb)* ba(aa)*) (ab(bb)* ba(aa)*) * B)

затем примените теорему Ардена к этому уравнению, и мы получим окончательный RE:

регулярное выражение для четных чисел 'a' и четных чисел 'b':

((a (bb) * + b( aa) * ab (bb)* ) (ba( aa) * ab (bb)*) * a + (b (aa) * + a (bb) * ba (aa)*) (ab(bb)* ba (aa)* )* B)

может ли еще один шаг упростить, как показано ниже:

((a + b(aa)*ab)(bb)*(ba(aa)*ab(bb)*)*a + (b + a(bb)*ba)(aa)*(ab(bb)*ba(aa)*)*b)*